データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1,000,000 要素のソート済み配列に対して、二分探索は最悪の場合およそ何回の比較を必要としますか？

  1. A約 500,000 回
  2. B約 1,000 回
  3. C約 20 回
  4. D約 100 回
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

1 回のインクリメントで多くのビットが反転することがあるとして、2 進カウンタのインクリメントのならしコストは何ですか？

  1. Aインクリメント 1 回あたり O(n)
  2. Bインクリメント 1 回あたり O(log n)
  3. Cインクリメント 1 回あたり O(1)
  4. Dインクリメント 1 回あたり O(n log n)
3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

  1. Aより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
  2. Bヒープ全体を一から作り直す
  3. C配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
  4. D根に置き、下へ移動させる（sift down）
4.データ構造むずかしい

単純一様ハッシュの仮定の下で、n 個のキーと m 個のバケットをもつチェイン法のハッシュテーブルの探索の期待時間はどれですか。

  1. AO(log n)
  2. BO(m)
  3. Cα = n / m として O(1 + α)
  4. DO(n)
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 4 の頂点が 4 個, 次数 5 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
9172131589ABCDEF

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 約 20 回

これが答えになる理由

220 ≈ 1,048,576 なので、約 20 回半分にすると要素は 1 つだけ残ります。

答え

C · 約 20 回
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · インクリメント 1 回あたり O(1)

これが答えになる理由

n 回のインクリメントでビット i は約 n / 2ⁱ 回反転するので、合計は 2n 回未満の反転となり、平均は 1 回あたり O(1) です。

答え

C · インクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造

答え: C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造

答え: C · α = n / m として O(1 + α)

これが答えになる理由

ハッシュの計算は O(1) で、チェインの期待される長さは α なので、サイズ変更によって α を有界に保てば期待 O(1) 時間になります。

答え

C · α = n / m として O(1 + α)
5.グラフ理論

答え: L = 22

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

答え

L = 22

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: B

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 9, C: 1
2. C (1): B: 8, E: 14
3. B (8): D: 10
4. D (10): F: 18
5. E (14)
6. F (18)

ラウンド 3

B

答え

B

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