データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法がマージソートを実質的に高速化しないのはなぜですか？

  1. A動的計画法はグラフ問題にしか使えず、配列には使えないから
  2. Bマージソートはすでに O(n) だから
  3. C部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
  4. Dマージソートには再帰的な構造がないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

新しい問題 X が NP 困難であることを示すには、何をしなければなりませんか？

  1. AX には小さな入力に対する多項式アルゴリズムがないことを示す
  2. BX を多項式時間で既知の NP 困難な問題に帰着させる
  3. CX を多項式時間で検証できることを示す
  4. D既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる
3.データ構造ふつう

同じ長さの連結リストを走査するより、配列を走査する方が実際にはずっと速いことが多いのはなぜですか。

  1. A連結リストは常に要素をディスクに格納するから
  2. B配列では値を比較する命令が少なくて済むから
  3. C配列の走査は全体で O(1)、連結リストの走査は O(n) だから
  4. D配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから
4.データ構造むずかしい

トポロジカルソートのためのカーンのアルゴリズムは、入次数 0 の頂点を繰り返し取り除きます。それらの頂点を保持する構造はどれですか。

  1. A入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
  2. B訪問したすべての辺のスタック
  3. C出次数で順序づけた最大ヒープ
  4. Dどの頂点がすでに取り除かれたかを記録する隣接行列
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K8 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K8
H =
6.グラフ理論むずかしい
7134156413913ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから

これが答えになる理由

マージソートの 2 つの半分は互いに素で、それぞれ一度だけ解かれます。DP が役立つのは、フィボナッチのように部分問題が繰り返し現れる場合だけです。

答え

C · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる

これが答えになる理由

既知の困難な問題を効率よく X に変換できれば、X に対する高速なアルゴリズムは既知の問題も解くことになります。

答え

D · 既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる
3.データ構造

答え: D · 配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから

これが答えになる理由

連続したメモリは参照の局所性がよい一方、連結されたノードはばらばらに配置されていることがあり、多くのキャッシュミスを引き起こします。

答え

D · 配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから
4.データ構造

答え: A · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）

これが答えになる理由

準備の整った頂点はキューに保持されます。1 つ取り除くと隣接頂点の入次数が下がり、0 になったものが追加されるので、時間は O(V + E) になります。

答え

A · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
5.グラフ理論

答え: H = 2520

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答え

H = 2520
6.グラフ理論

答え: B

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): C: 7
2. C (7): B: 20, E: 22
3. B (20): D: 24, G: 33
4. E (22)
5. D (24): F: 28
6. F (28)
7. G (33)

ラウンド 3

B

答え

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms