データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

標準的な 3 重ループで 2 つの n × n 行列を掛ける時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

マスター定理を用いると、T(n) = 8T(n/2) + O(n²) の解はどれですか？

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D5 4 3 2 1
4.データ構造むずかしい

トポロジカルソートのためのカーンのアルゴリズムは、入次数 0 の頂点を繰り返し取り除きます。それらの頂点を保持する構造はどれですか。

  1. A入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
  2. Bどの頂点がすでに取り除かれたかを記録する隣接行列
  3. C出次数で順序づけた最大ヒープ
  4. D訪問したすべての辺のスタック
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 8 個の頂点と 10 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 8|E| = 10
k =
6.グラフ理論むずかしい
106414154133ABCDEF

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n³)

これが答えになる理由

要素は n² 個あり、それぞれに n 回の掛け算が必要なので、n³ 回の演算になります。

答え

B · O(n³)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(n³)

これが答えになる理由

log₂ 8 = 3 であり、n² は n³ より増加が遅いため、葉が支配的になります：Θ(n³)。

答え

D · Θ(n³)
3.データ構造

答え: B · 4 5 2 3 1

これが答えになる理由

帰りがけ順では 2 より先に 4 と 5 を処理し、次に 3、最後に根の 1 を処理します。

答え

B · 4 5 2 3 1
4.データ構造

答え: A · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）

これが答えになる理由

準備の整った頂点はキューに保持されます。1 つ取り除くと隣接頂点の入次数が下がり、0 になったものが追加されるので、時間は O(V + E) になります。

答え

A · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
5.グラフ理論

答え: k = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

8 − 1 = 7

取り除く辺

k = 10 − 7 = 3

答え

k = 3
6.グラフ理論

答え: B

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 10, C: 6
2. C (6): E: 20
3. B (10): D: 14, E: 13
4. E (13): F: 26
5. D (14): F: 18
6. F (18)

ラウンド 3

B

答え

B

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