データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフに対するベルマン－フォード法の時間計算量は何ですか？

  1. AO(V × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V + E)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ナップサック問題のどの変種で、「重さあたりの価値の順に品物をとる」という貪欲な規則が常に最適解を与えますか？

  1. A品物を分割できる分数ナップサック問題
  2. B両方の変種
  3. C品物を必ず丸ごととらなければならない 0/1 ナップサック問題
  4. Dどちらの変種でもない
3.データ構造ふつう

配列に格納された二分最小ヒープ（インデックスは 0 から）において、インデックス i のノードの子はどこにありますか。

  1. Ai + 1 と i + 2
  2. B2i + 1 と 2i + 2
  3. C2i と 2i + 1
  4. Di/2 と i/2 + 1
4.データ構造むずかしい

根が 50、左部分木が 30（子は 20, 40）、右部分木が 70（子は 60, 80）の BST で、通りがけ順の後続ノードを使って根を削除します。新しい根になるキーはどれですか。

  1. A60
  2. B80
  3. C40
  4. D70
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 32 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

B を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(V × E)

これが答えになる理由

V − 1 回の各ラウンドで E 本すべての辺を緩和するので O(VE) になります。その代わり、負の辺の重みを扱えます。

答え

A · O(V × E)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 品物を分割できる分数ナップサック問題

これが答えになる理由

品物を分割できる場合は、比率の最もよいものから選ぶのが最適です。0/1 ナップサックでは比率の高い品物がよりよい組み合わせを妨げることがあるので、動的計画法が必要です。

答え

A · 品物を分割できる分数ナップサック問題
3.データ構造

答え: B · 2i + 1 と 2i + 2

これが答えになる理由

0 始まりの配列では、左の子は 2i + 1、右の子は 2i + 2、親は ⌊(i − 1)/2⌋ にあります。

答え

B · 2i + 1 と 2i + 2
4.データ構造

答え: A · 60

これが答えになる理由

右部分木の最も左のノードは 60 なので、60 が 50 と置き換わり、元の位置からは取り除かれます。先行ノードを使えば 40 になります。

答え

A · 60
5.グラフ理論

答え: L = 10

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

答え

L = 10

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: N = 4

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

共通の隣接頂点

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

答え

N = 4

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