データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法（dynamic programming）が有効なのは、問題が次の性質を持つときです。

  1. Aランダムな入力のみ
  2. B部分問題がまったくないので、1 ステップで解ける
  3. Cループが一つだけ
  4. D重複する部分問題と最適部分構造
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

停止問題（halting problem）が示していることはどれですか？

  1. Aすべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
  2. Bすべてのプログラムはいずれ停止する
  3. Cループは避けるべきである
  4. D一部のプログラムは高速なコンピュータでより速く動作するので、停止するかどうかはハードウェアに依存するから
3.データ構造ふつう

キーをソート済みの順序で挿入した場合、n 個のノードを持つ二分探索木の最悪の高さはいくつですか。

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. Cn（連結リストのようになる）
  4. D√n
4.データ構造むずかしい

単方向連結リストをその場で反転させる時間と追加領域のコストはどれですか。

  1. A時間 O(1)、追加領域 O(1)
  2. B時間 O(n log n)、追加領域 O(1)
  3. C時間 O(n)、追加領域 O(n)
  4. D時間 O(n)、追加領域 O(1)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
4110206815187ABCDEFG

プリム法は、頂点 F から始めて最小全域木をつくります。それが 5 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Fk = 5
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 DF
  8. 8辺 GC
  9. 9辺 GD

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 重複する部分問題と最適部分構造

これが答えになる理由

重複する部分問題の結果を保存する（メモ化または表計算）ことで繰り返しの処理を避け、指数時間のアルゴリズムを多項式時間に変えられます。

答え

D · 重複する部分問題と最適部分構造
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない

これが答えになる理由

Turing は停止問題が決定不能（undecidable）であることを示しました。判定器が存在すると仮定すると、その逆の動作をするプログラムとの間で矛盾が生じます。

答え

A · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
3.データ構造

答え: C · n（連結リストのようになる）

これが答えになる理由

ソート済みの挿入では高さ n の退化した木ができ、探索が O(n) になります。平衡木はこれを防ぎます。

答え

C · n（連結リストのようになる）
4.データ構造

答え: D · 時間 O(n)、追加領域 O(1)

これが答えになる理由

3 つのポインタ（前、現在、次）を保持すれば、新しいノードを確保せずに 1 回の走査で各リンクを反転できます。

答え

D · 時間 O(n)、追加領域 O(1)
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: 辺 AC

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. DF (15)
2. GD (7)
3. DE (8)
4. CE (6)
5. AC (1)
6. AB (4)

辺の番号 5

AC

答え

辺 AC

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