データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

新しい問題 X が NP 困難であることを示すには、何をしなければなりませんか？

  1. A既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる
  2. BX を多項式時間で既知の NP 困難な問題に帰着させる
  3. CX を多項式時間で検証できることを示す
  4. DX には小さな入力に対する多項式アルゴリズムがないことを示す
3.データ構造ふつう

二分探索木で最小のキーはどのように見つけますか。

  1. A根から左の子がなくなるまで左の子をたどる
  2. Bすべての葉を訪問して比べる
  3. C根から右の子がなくなるまで右の子をたどる
  4. D根だけを見る
4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 4 の頂点が 4 個, 次数 5 の頂点が 4 個, 次数 2 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 34 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
531441112138ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(log n)

これが答えになる理由

問題は各ステップで半分になり、各ステップの作業量は定数なので、ステップ数は約 log₂ n です。

答え

A · O(log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる

これが答えになる理由

既知の困難な問題を効率よく X に変換できれば、X に対する高速なアルゴリズムは既知の問題も解くことになります。

答え

A · 既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる
3.データ構造

答え: A · 根から左の子がなくなるまで左の子をたどる

これが答えになる理由

最も左のノードより小さいキーは木の中にないので、それが最小値です。コストは高さに比例します。

答え

A · 根から左の子がなくなるまで左の子をたどる
4.データ構造

答え: A · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

A · O(log n)
5.グラフ理論

答え: L = 25

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 51 = 2(L + 14) − 2
L = 25

答え

L = 25

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 21

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 5, C: 3
C (3)
B (5): D: 9, E: 13
D (9): F: 21
E (13)
F (21)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 21

答え

d(F) = 21

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