データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

プリム法は最小全域木をどのように構築しますか？

  1. A閉路がなくなるまで最も高い辺を取り除く
  2. Bすべての辺を重みでソートし、森の中で閉路をつくる場合を除いて 1 本ずつ加える
  3. C開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
  4. D幅優先探索を実行し、BFS 木を残す
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

22n は O(2ⁿ) に属しますか？

  1. Aいいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
  2. Bはい。どちらも指数的だから
  3. Cはい。Big O では指数の定数倍は常に無視されるから
  4. Dいいえ。22n は 2ⁿ よりゆっくり増加するから
3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

  1. Aヒープ全体を一から作り直す
  2. B根に置き、下へ移動させる（sift down）
  3. C配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
  4. Dより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
4.データ構造むずかしい

ある AVL ノードは、その左の子の右部分木が高くなりすぎたために平衡が崩れています（左右の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. Aそのノードで 1 回の右回転
  2. Bそのノードで 1 回の左回転
  3. C左の子で右回転し、次にそのノードで左回転
  4. D左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
911314195164112ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 10
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える

これが答えになる理由

木をまたぐ辺の優先度付きキューを用いるプリム法は、二分ヒープを使うと O(E log V) で動作します。

答え

C · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · いいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから

これが答えになる理由

指数に定数を加えると定数倍になりますが、指数に定数を掛けると底と増加率が変わります。

答え

A · いいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
3.データ構造

答え: C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造

答え: D · 左の子で左回転し、次にそのノードで右回転

これが答えになる理由

最初の回転によって左右の場合が左左の場合に変わり、それを平衡が崩れたノードでの右回転で修正します。

答え

D · 左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇数次数の頂点

A, D, E, G → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: W = 46

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

GC (1): 取る
BC (3): 取る
GB (4): 飛ばす（閉路ができる）
DE (5): 取る
AB (9): 取る
AC (11): 飛ばす（閉路ができる）
GE (12): 取る
BD (14): 飛ばす（閉路ができる）
DF (16): 取る

重みの合計

W = 1 + 3 + 5 + 9 + 12 + 16 = 46

答え

W = 46

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