データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

多くのライブラリのソート関数が、非常に小さな部分配列では挿入ソートに切り替えるのはなぜですか？

  1. A挿入ソートは最悪の場合 O(n log n) だから
  2. B挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
  3. C再帰アルゴリズムは 10 要素未満の配列を扱えないから
  4. D大きな入力では、挿入ソートは他のどのソートアルゴリズムよりメモリが少なくて済むから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

巡回セールスマン問題はどのように分類されますか？

  1. A決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である
  2. Bダイクストラ法がすべての都市を 1 回ずつ訪れて解くので、P に属する
  3. C決定版は P に属するが、最適化版は NP 完全である
  4. D決定不能である
3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。行きがけ順の走査はどれですか。

  1. A4 5 2 3 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D1 2 3 4 5
4.データ構造むずかしい

配列の各要素について、その右側にある次に大きい要素を、合計 O(n) 時間で求めたいとします。役立つ構造はどれですか。

  1. Aすべての要素のハッシュテーブル
  2. B答えを待っている要素を保持するスタック
  3. C要素のすべての組を保持するキュー
  4. D要素ごとに作り直す二分探索木
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K6 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K6
H =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

C から D への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから

これが答えになる理由

n が小さいときは、O(n²) であっても、挿入ソートの単純なループの方がクイックソートやマージソートの再帰のオーバーヘッドより速くなります。

答え

B · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である

これが答えになる理由

「長さ k 以下の巡回路はあるか？」は NP 完全です。最短の巡回路を見つけることは少なくともそれと同じくらい難しいので NP 困難です。

答え

A · 決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である
3.データ構造

答え: C · 1 2 4 5 3

これが答えになる理由

行きがけ順では 1、次にその左部分木（2, 4, 5）、次に 3 を訪問します。他の選択肢は通りがけ順、帰りがけ順、レベル順です。

答え

C · 1 2 4 5 3
4.データ構造

答え: B · 答えを待っている要素を保持するスタック

これが答えになる理由

左から右へ走査し、スタック内の現在の要素より小さい要素をすべて pop し（現在の要素がそれらの答えになる）、それから現在の要素を push します。各要素は高々 2 回しか移動しません。

答え

B · 答えを待っている要素を保持するスタック
5.グラフ理論

答え: H = 60

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

共通の隣接頂点

(M²)CD = 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·1 + 0·0 = 1

答え

N = 1

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