データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ソート済み配列で、両端から 1 つずつポインタを内側へ動かして、和が目標値になる 2 つの要素を探します。時間計算量は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

停止問題（halting problem）が示していることはどれですか？

  1. Aすべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
  2. B一部のプログラムは高速なコンピュータでより速く動作するので、停止するかどうかはハードウェアに依存するから
  3. Cループは避けるべきである
  4. Dすべてのプログラムはいずれ停止する
3.データ構造ふつう

トライ（接頭辞木）が特に効率的なのはどのような用途ですか。

  1. A数値のソート
  2. B行列の格納
  3. C最短経路の探索
  4. Dオートコンプリートなどの接頭辞検索
4.データ構造むずかしい

ヒープソートについて正しい記述はどれですか。

  1. Aどの入力に対しても O(n) 時間で動作する
  2. B最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
  3. C追加の記憶領域として二分探索木を必要とするので、O(n) の追加メモリを使う
  4. D安定で、O(n) の追加メモリを必要とする
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 11 個の頂点と 17 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 11|E| = 17
k =
6.グラフ理論むずかしい
20511310181174ABCDEF

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 9
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

和が小さすぎれば左のポインタを右へ、大きすぎれば右のポインタを左へ動かすので、ステップは高々 n 回です。

答え

A · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない

これが答えになる理由

Turing は停止問題が決定不能（undecidable）であることを示しました。判定器が存在すると仮定すると、その逆の動作をするプログラムとの間で矛盾が生じます。

答え

A · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
3.データ構造

答え: D · オートコンプリートなどの接頭辞検索

これが答えになる理由

トライは文字列を経路上の文字として格納するため、検索や接頭辞クエリはキーの長さに比例する時間で済みます。

答え

D · オートコンプリートなどの接頭辞検索
4.データ構造

答え: B · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない

これが答えになる理由

ヒープソートは最大ヒープを構築し、同じ配列内で最大値を n 回取り出します。遠く離れた位置どうしの交換によって、等しいキーの順序が入れ替わることがあります。

答え

B · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
5.グラフ理論

答え: k = 7

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

11 − 1 = 10

取り除く辺

k = 17 − 10 = 7

答え

k = 7
6.グラフ理論

答え: W = 28

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BC (1): 取る
BE (4): 取る
AC (5): 取る
EF (7): 取る
CE (10): 飛ばす（閉路ができる）
DF (11): 取る

重みの合計

W = 1 + 4 + 5 + 7 + 11 = 28

答え

W = 28

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