データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法がマージソートを実質的に高速化しないのはなぜですか？

  1. A部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
  2. Bマージソートには再帰的な構造がないから
  3. Cマージソートはすでに O(n) だから
  4. D動的計画法はグラフ問題にしか使えず、配列には使えないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

どんな入力に対してもクイックソートの期待（expected）実行時間を O(n log n) にする手法はどれですか？

  1. Aピボットを一様ランダムに選ぶ
  2. Bクイックソートを実行する前に入力をソートする
  3. C左側にのみ再帰を使う
  4. D常に先頭の要素を選ぶ
3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

  1. A4 5 2 3 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C5 4 3 2 1
  4. D1 2 4 5 3
4.データ構造むずかしい

ある AVL ノードは、その左の子の右部分木が高くなりすぎたために平衡が崩れています（左右の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. A左の子で右回転し、次にそのノードで左回転
  2. Bそのノードで 1 回の右回転
  3. C左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
  4. Dそのノードで 1 回の左回転
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 10 個の頂点と 10 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 10|E| = 10
k =
6.グラフ理論むずかしい
315213891567ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから

これが答えになる理由

マージソートの 2 つの半分は互いに素で、それぞれ一度だけ解かれます。DP が役立つのは、フィボナッチのように部分問題が繰り返し現れる場合だけです。

答え

A · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · ピボットを一様ランダムに選ぶ

これが答えになる理由

ランダムなピボットを使うと、すべての入力に対して期待実行時間は O(n log n) になります。悪いケースは依然として存在しますが、起こる確率は非常に低くなります。

答え

A · ピボットを一様ランダムに選ぶ
3.データ構造

答え: A · 4 5 2 3 1

これが答えになる理由

帰りがけ順では 2 より先に 4 と 5 を処理し、次に 3、最後に根の 1 を処理します。

答え

A · 4 5 2 3 1
4.データ構造

答え: C · 左の子で左回転し、次にそのノードで右回転

これが答えになる理由

最初の回転によって左右の場合が左左の場合に変わり、それを平衡が崩れたノードでの右回転で修正します。

答え

C · 左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
5.グラフ理論

答え: k = 1

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

10 − 1 = 9

取り除く辺

k = 10 − 9 = 1

答え

k = 1
6.グラフ理論

答え: d(F) = 14

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 3
B (3): C: 18, D: 5, G: 9
D (5): E: 13, F: 14
G (9)
E (13)
F (14)
C (18)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 14

答え

d(F) = 14

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