データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

k 進数で d 桁の n 個の整数に対する LSD 基数ソートの実行時間は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + n log n の解は何ですか？

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n²)
3.データ構造ふつう

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、負荷率の最大値はいくつですか。

  1. A2
  2. B1
  3. C0.5
  4. D最大値はない
4.データ構造むずかしい

ヒープソートについて正しい記述はどれですか。

  1. Aどの入力に対しても O(n) 時間で動作する
  2. B追加の記憶領域として二分探索木を必要とするので、O(n) の追加メモリを使う
  3. C安定で、O(n) の追加メモリを必要とする
  4. D最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 10
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
311157151411ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(d(n + k))

これが答えになる理由

d 回の各パスは O(n + k) のコストの計数ソートなので、d と k が固定なら全体は n について線形です。

答え

C · O(d(n + k))
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · Θ(n log² n)

これが答えになる理由

段階 k の作業量は約 n log(n / 2ᵏ) で、log n 個の段階にわたって合計すると Θ(n log² n) となります。これはマスター定理の第 2 の場合の拡張です。

答え

A · Θ(n log² n)
3.データ構造

答え: B · 1

これが答えになる理由

オープンアドレス法ではすべてのキーがテーブル自体に格納されるので、n は m を超えられません。チェイン法では負荷率が 1 を超えることがあります。

答え

B · 1
4.データ構造

答え: D · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない

これが答えになる理由

ヒープソートは最大ヒープを構築し、同じ配列内で最大値を n 回取り出します。遠く離れた位置どうしの交換によって、等しいキーの順序が入れ替わることがあります。

答え

D · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇数次数の頂点

B, G → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 14

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 3, C: 11
B (3): D: 10
D (10): E: 11, F: 14
C (11)
E (11)
F (14)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 14

答え

d(F) = 14

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