データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) の時間計算量は何ですか？

AO(n log n)
BO(n²)
CO(n)
DO(log n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

トポロジカルソートが可能なのは、次のどのグラフだけですか？

A完全グラフ
B無向グラフ
C有向非巡回グラフ（DAG）
D負の重みを持つグラフ

3.データ構造ふつう

リストの中ほどにあるノードへの参照をもっています。どのリストなら、それを O(1) で削除できますか。

A動的配列
B双方向連結リスト
C単方向連結リスト
Dソート済み配列

4.データ構造むずかしい

赤黒木の規則は、n 個のキーをもつ木の高さについてどのような保証を与えますか。

A高さはちょうど log₂ n である
B高さは高々 n / 2 である
C高さは高々 log₂ n + 1 である
D高さは高々 2 log₂(n + 1) である

5.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

6.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から D までの最短経路の長さd(D)を求めてください。

始点：A終点：D

d(D) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n log n)

これが答えになる理由

内側のループは n 回の外側の反復のそれぞれについて約 log₂ n 回実行されるので、O(n log n) になります。

答え

A · O(n log n)

2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 有向非巡回グラフ（DAG）

これが答えになる理由

トポロジカル順序が存在するのは、有向グラフに閉路がない場合に限ります。DFS または Kahn のアルゴリズムで O(V + E) で求められます。

答え

C · 有向非巡回グラフ（DAG）

3.データ構造

答え: B · 双方向連結リスト

これが答えになる理由

双方向連結リストのノードは前のノードを知っているので、prev と next を直接つなぎ直せます。単方向連結リストでは前のノードを探さなければなりません。

答え

B · 双方向連結リスト

4.データ構造

答え: D · 高さは高々 2 log₂(n + 1) である

これが答えになる理由

すべての経路は同じ数の黒ノードをもち、赤ノードは隣り合えないので、最長の経路は最短の経路の高々 2 倍となり、高さは O(log n) になります。

答え

D · 高さは高々 2 log₂(n + 1) である

5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 1

奇数次数の頂点

D, E → 2

オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(D) = 15

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 14, C: 7

C (7): E: 10

E (10): D: 15, F: 15

B (14)

D (15)

F (15)

最短経路

A → C → E → D

d(D) = 15

答え

d(D) = 15

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