データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ならし解析（amortised analysis）は何を測りますか？

  1. A操作列のどこかにある、最もコストの高い 1 回の操作のコスト
  2. B最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト
  3. Cランダムな入力に対する期待コスト
  4. D最良の入力に対するアルゴリズムのコスト
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

マスター定理を用いると、T(n) = 8T(n/2) + O(n²) の解はどれですか？

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.データ構造ふつう

無向グラフの隣接行列について正しいのはどれですか。

  1. A主対角線に関して対称である
  2. B常に上三角行列である
  3. C主対角線には常に 1 が入っている
  4. D各行にちょうど 1 つの 1 がある
4.データ構造むずかしい

赤黒木の規則は、n 個のキーをもつ木の高さについてどのような保証を与えますか。

  1. A高さはちょうど log2 n である
  2. B高さは高々 2 log2(n + 1) である
  3. C高さは高々 n / 2 である
  4. D高さは高々 log2 n + 1 である
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 4 個, 次数 5 の頂点が 4 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 34 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
1161720961419ABCDEF

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト

これが答えになる理由

ならし解析は、まれな高コストの操作のコストを多数の低コストの操作に分散させ、どの操作列に対しても保証された平均を与えます。

答え

B · 最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · Θ(n³)

これが答えになる理由

log₂ 8 = 3 であり、n² は n³ より増加が遅いため、葉が支配的になります：Θ(n³)。

答え

B · Θ(n³)
3.データ構造

答え: A · 主対角線に関して対称である

これが答えになる理由

無向グラフでは辺 {u, v} は M[u][v] と M[v][u] の両方が設定されることを意味するので、行列はその転置と等しくなります。

答え

A · 主対角線に関して対称である
4.データ構造

答え: B · 高さは高々 2 log2(n + 1) である

これが答えになる理由

すべての経路は同じ数の黒ノードをもち、赤ノードは隣り合えないので、最長の経路は最短の経路の高々 2 倍となり、高さは O(log n) になります。

答え

B · 高さは高々 2 log2(n + 1) である
5.グラフ理論

答え: L = 18

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

答え

L = 18

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: W = 49

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AB (1): 取る
DF (6): 取る
DE (9): 取る
EF (14): 飛ばす（閉路ができる）
AC (16): 取る
BD (17): 取る

重みの合計

W = 1 + 6 + 9 + 16 + 17 = 49

答え

W = 49

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