データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

標準的な 3 重ループで 2 つの n × n 行列を掛ける時間計算量は何ですか？

  1. AO(n³)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n² log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ベルマン－フォード法は、始点から到達可能な負の重みの閉路をどのように検出しますか？

  1. A負の重みをもつ辺があるかどうかを調べる
  2. Bダイクストラ法を 2 回実行し、2 つの距離の結果を比べる
  3. C深さ優先探索で閉路を数える
  4. DV − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。行きがけ順の走査はどれですか。

  1. A1 2 4 5 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.データ構造むずかしい

サーバーがハッシュ関数を万能（universal）族からランダムに選ぶのはなぜですか。

  1. A攻撃者がどのようなキーを送っても、2 つのキーが決して衝突しないことを保証するため
  2. B攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため
  3. Cハッシュテーブルをソートされた状態にするため
  4. Dテーブルのサイズを変更する必要をなくすため
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
18106271027ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から D までの最短経路の長さd(D)を求めてください。

始点：A終点：D
d(D) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n³)

これが答えになる理由

要素は n² 個あり、それぞれに n 回の掛け算が必要なので、n³ 回の演算になります。

答え

A · O(n³)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる

これが答えになる理由

真の最短距離はすべて V − 1 回のラウンド以内に見つかります。それでも改善できる辺があれば、負の閉路が存在するはずです。

答え

D · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
3.データ構造

答え: A · 1 2 4 5 3

これが答えになる理由

行きがけ順では 1、次にその左部分木（2, 4, 5）、次に 3 を訪問します。他の選択肢は通りがけ順、帰りがけ順、レベル順です。

答え

A · 1 2 4 5 3
4.データ構造

答え: B · 攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため

これが答えになる理由

万能ハッシュでは、攻撃者はどの関数が選ばれたかを知らないので、どのようなキーの集合についても衝突の期待数は小さくなります。

答え

B · 攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

奇数次数の頂点

B, E → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(D) = 7

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 1, C: 8
B (1): D: 7, E: 8
D (7): F: 17
C (8)
E (8): F: 10
F (10)

最短経路

A → B → D
d(D) = 7

答え

d(D) = 7

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