データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

長さ m と n の文字列の最長共通部分列を求める標準的な動的計画法の時間計算量は何ですか？

AO(mn)
BO(m + n)
CO(mn log n)
DO(2^m+n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

極大マッチングのすべての辺の両端点をとると頂点被覆が得られます。この被覆はどれくらいよいですか？

A最適解と比べた品質は不明
B最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍
C常に最小頂点被覆
D最小値の高々 log n 倍

3.データ構造ふつう

高さを辺の数で数えるとき、高さ h の完全（perfect）二分木にはいくつのノードがありますか。

A2^h
Bh²
C2^h+1 − 1
D2h + 1

4.データ構造むずかしい

n 個の数からなるストリームから、O(k) のメモリで最小の k 個の値を保持しなければなりません。O(n log k) 時間で動作する方法はどれですか。

Aサイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
B最後の k 個の値の FIFO キュー
Cn 個すべての値のソート済み配列
Dn 個すべての値を保持する最小ヒープで、最後に小さい方から k 個を取り出す

5.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

6.グラフ理論むずかしい

B を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2

N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(mn)

これが答えになる理由

表には (m + 1)(n + 1) 個のセルがあり、各セルは隣接するセルから O(1) で計算されます。

答え

A · O(mn)

2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍

これが答えになる理由

マッチングの辺は頂点を共有しないので、最適解には辺ごとに少なくとも 1 頂点が必要ですが、この方法は 2 頂点をとります。つまり 2 近似です。

答え

B · 最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍

3.データ構造

答え: C · 2^h+1 − 1

これが答えになる理由

1 + 2 + 4 + ... + 2^h を合計すると 2^h+1 − 1 になります。たとえば高さ 2 では 7 個のノードです。

答え

C · 2^h+1 − 1

4.データ構造

答え: A · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える

これが答えになる理由

最大ヒープの根は保持している値の最大値です。それより小さい新しい値は O(log k) でそれと置き換わるので、ヒープは常にそれまでの最小の k 個を保持します。

答え

A · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える

5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

C, E → 2

オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: N = 4

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)_BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

答え

N = 4

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