データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ボトムアップの表を使って n 番目のフィボナッチ数を計算する時間計算量は何ですか？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

  1. AX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
  2. BX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
  3. CX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
  4. DX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
3.データ構造ふつう

連結リストにおける番兵（ダミー）ノードの目的は何ですか。

  1. Aリストのノード数が決まった最大値を超えて増えないようにする
  2. Bリストをソートされた状態にする
  3. C先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする
  4. D要素の数を格納する
4.データ構造むずかしい

ある AVL ノードは、その左の子の右部分木が高くなりすぎたために平衡が崩れています（左右の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. A左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
  2. Bそのノードで 1 回の左回転
  3. Cそのノードで 1 回の右回転
  4. D左の子で右回転し、次にそのノードで左回転
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
8421573714ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から E までの最短経路の長さd(E)を求めてください。

始点：A終点：E
d(E) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

0 から n まで表を埋めるには項目ごとに 1 回の加算で済むので、作業量は指数ではなく線形になります。

答え

D · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

A · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造

答え: C · 先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする

これが答えになる理由

番兵があれば実際のすべてのノードに前のノードがあるので、先頭での挿入や削除に特別な処理が不要になります。

答え

C · 先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする
4.データ構造

答え: A · 左の子で左回転し、次にそのノードで右回転

これが答えになる理由

最初の回転によって左右の場合が左左の場合に変わり、それを平衡が崩れたノードでの右回転で修正します。

答え

A · 左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇数次数の頂点

C, D → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(E) = 6

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 8, C: 4
C (4): E: 6, G: 11
E (6): D: 21, F: 13, G: 10
B (8)
G (10): D: 11
D (11)
F (13)

最短経路

A → C → E
d(E) = 6

答え

d(E) = 6

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