データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

重みなしグラフでの幅優先探索（BFS）で求められるものはどれですか？

  1. A負の辺の重みを含むグラフでの最短経路
  2. B最小全域木
  3. C始点ノードからの辺の数で測った最短経路
  4. Dすべてのグラフにおけるトポロジカル順序
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

問題が NP 完全（NP-complete）であるのは、次のどの場合ですか？

  1. ANP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
  2. B停止問題のように、NP に属さないがすべての NP 問題より難しい
  3. C解くことが不可能である
  4. D多項式時間で解ける
3.データ構造ふつう

二分探索木を中間順（in-order）でたどると、キーはどの順序で訪問されますか。

  1. A常に降順
  2. B挿入順
  3. C昇順
  4. Dレベル順
4.データ構造むずかしい

データベースがインデックスに通常の B 木ではなく B+ 木をよく使うのはなぜですか。

  1. AB+ 木はデータを根にだけ格納するから
  2. Bすべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
  3. CB+ 木は二分の内部ノードを使うので、ディスクの読み取りが減るから
  4. DB+ 木は平衡を保つ必要がないから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
1171615121538413ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 始点ノードからの辺の数で測った最短経路

これが答えになる理由

BFS は始点からの距離（辺の数）の順にノードを訪問するため、O(V + E) で重みなしの最短経路を求めます。

答え

C · 始点ノードからの辺の数で測った最短経路
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる

これが答えになる理由

NP 完全問題は NP の中で最も難しい問題であり、そのうち一つでも多項式時間アルゴリズムがあれば、NP 全体に対して多項式時間アルゴリズムが得られます。

答え

A · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
3.データ構造

答え: C · 昇順

これが答えになる理由

左部分木、ノード、右部分木の順に訪問すると、BST のキーがソート順に出力されます。

答え

C · 昇順
4.データ構造

答え: B · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから

これが答えになる理由

B+ 木では内部ノードは探索を導くだけで、葉はキーの順に連結されているので、範囲クエリは最初のキーを見つけた後、葉に沿って進みます。

答え

B · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

奇数次数の頂点

A, B, D, E → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: W = 34

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DE (1): 取る
EF (3): 取る
GD (4): 取る
DF (5): 飛ばす（閉路ができる）
AC (7): 取る
GB (8): 取る
AB (11): 取る

重みの合計

W = 1 + 3 + 4 + 7 + 8 + 11 = 34

答え

W = 34

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