データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) の時間計算量は何ですか？

AO(n²)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

AΘ(n² log n)
BΘ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81
CΘ(n³)
DΘ(n²)

3.データ構造ふつう

ダイクストラ法が次に処理する頂点を選ぶために使う抽象データ型はどれですか。

Aスタック
B最小優先度付きキュー
CFIFO キュー
D順序のない集合

4.データ構造むずかしい

ブルームフィルタは「この要素は集合に含まれるか」という問いにどのように答えますか。

A偽陰性はあり得るが、偽陽性はない
B数値に対してのみ答えられる
C常に正確な答えを返す
D偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 10 個の頂点と 13 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 10|E| = 13

k =

6.グラフ理論むずかしい

D から B への長さ 3 の歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3

N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n log n)

これが答えになる理由

内側のループは n 回の外側の反復のそれぞれについて約 log₂ n 回実行されるので、O(n log n) になります。

答え

B · O(n log n)

2.アルゴリズムと計算量

答え: B · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

これが答えになる理由

a = 7、b = 2 で、n^{log₂ 7} が O(n²) の加算の作業量より支配的なので、約 n^2.81 になります。

答え

B · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

3.データ構造

答え: B · 最小優先度付きキュー

これが答えになる理由

最小優先度付きキュー（通常は二分ヒープ）は、未訪問の頂点のうち距離が最小のものを効率よく返します。

答え

B · 最小優先度付きキュー

4.データ構造

答え: D · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

これが答えになる理由

ある要素に対応するビットのどれかが 0 なら確実に存在せず、すべて 1 ならおそらく存在します。ブルームフィルタは精度と引き換えに非常に少ないメモリで済みます。

答え

D · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

5.グラフ理論

答え: k = 4

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

10 − 1 = 9

取り除く辺

k = 13 − 9 = 4

答え

k = 4

6.グラフ理論

答え: N = 6

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

もう 1 歩

(M³)_DB = 1·1 + 1·0 + 2·1 + 2·1 + 1·1 = 6

答え

N = 6

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