データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

問題が NP 完全（NP-complete）であるのは、次のどの場合ですか？

  1. ANP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
  2. B解くことが不可能である
  3. C停止問題のように、NP に属さないがすべての NP 問題より難しい
  4. D多項式時間で解ける
3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。行きがけ順の走査はどれですか。

  1. A4 5 2 3 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D1 2 4 5 3
4.データ構造むずかしい

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、削除に「墓標」（tombstone）マーカーがよく使われるのはなぜですか。

  1. Aテーブルがソートされた状態になるから
  2. B墓標がハッシュ計算を高速化するから
  3. C安全のため削除したキーを永久に保持する必要があり、スロットを再利用できないから
  4. Dスロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
17419918123ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(2ⁿ)

これが答えになる理由

呼び出しの数は段階ごとに 2 倍になり、段階は n 個あるので、ハノイの塔のように合計は約 2ⁿ になります。

答え

C · O(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる

これが答えになる理由

NP 完全問題は NP の中で最も難しい問題であり、そのうち一つでも多項式時間アルゴリズムがあれば、NP 全体に対して多項式時間アルゴリズムが得られます。

答え

A · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
3.データ構造

答え: D · 1 2 4 5 3

これが答えになる理由

行きがけ順では 1、次にその左部分木（2, 4, 5）、次に 3 を訪問します。他の選択肢は通りがけ順、帰りがけ順、レベル順です。

答え

D · 1 2 4 5 3
4.データ構造

答え: D · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから

これが答えになる理由

削除したスロットが空になると、その後の探索が途中で止まり、探査チェーンのさらに先に配置されたキーを見逃すおそれがあります。

答え

D · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: W = 33

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BE (3): 取る
AC (4): 取る
BD (9): 取る
DE (12): 飛ばす（閉路ができる）
AB (17): 取る

重みの合計

W = 3 + 4 + 9 + 17 = 33

答え

W = 33

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