データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1,000,000 要素のソート済み配列に対して、二分探索は最悪の場合およそ何回の比較を必要としますか？

  1. A約 1,000 回
  2. B約 20 回
  3. C約 500,000 回
  4. D約 100 回
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

単方向連結リストでは、二分探索が O(log n) 時間にならないのはなぜですか？

  1. A連結リストのノードでの比較は遅いから
  2. B二分探索には少なくとも 2 倍のメモリが必要だから
  3. C連結リストはソートできないから
  4. Dインデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造ふつう

深さ優先探索（反復版）で使われるデータ構造はどれですか。

  1. Aハッシュテーブルのみ
  2. Bヒープ
  3. Cスタック
  4. Dキュー
4.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

  1. A探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
  2. B開始頂点を選ぶ
  3. C辺を重みの順にソートする
  4. D辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 18 個の頂点と 20 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 18|E| = 20
k =
6.グラフ理論むずかしい
1915617345812718ABCDEFG

プリム法は、頂点 B から始めて最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Bk = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BD
  4. 4辺 CE
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 GB
  9. 9辺 GC
  10. 10辺 GD
  11. 11辺 GE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 約 20 回

これが答えになる理由

220 ≈ 1,048,576 なので、約 20 回半分にすると要素は 1 つだけ残ります。

答え

B · 約 20 回
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから

これが答えになる理由

二分探索には中央への O(1) のアクセスが必要です。連結リストではそこまでたどるのに線形時間がかかるので、全体は O(n) になります。

答え

D · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造

答え: C · スタック

これが答えになる理由

DFS はできるだけ深く探索するため、自然にスタック（または再帰の呼び出しスタック）を使います。BFS はキューを使います。

答え

C · スタック
4.データ構造

答え: D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる

これが答えになる理由

find で両端点が同じ連結成分にあるかどうかがわかります。同じでなければ辺を加え、union で連結成分を併合します。

答え

D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: k = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

18 − 1 = 17

取り除く辺

k = 20 − 17 = 3

答え

k = 3
6.グラフ理論

答え: 辺 DF

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. BD (6)
2. DE (3)
3. DF (4)
4. GD (7)
5. GC (12)
6. AC (15)

辺の番号 3

DF

答え

辺 DF

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