データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

プリム法は最小全域木をどのように構築しますか？

  1. Aすべての辺を重みでソートし、森の中で閉路をつくる場合を除いて 1 本ずつ加える
  2. B幅優先探索を実行し、BFS 木を残す
  3. C閉路がなくなるまで最も高い辺を取り除く
  4. D開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

1 回のインクリメントで多くのビットが反転することがあるとして、2 進カウンタのインクリメントのならしコストは何ですか？

  1. Aインクリメント 1 回あたり O(n)
  2. Bインクリメント 1 回あたり O(log n)
  3. Cインクリメント 1 回あたり O(n log n)
  4. Dインクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造ふつう

キーをソート済みの順序で挿入した場合、n 個のノードを持つ二分探索木の最悪の高さはいくつですか。

  1. An（連結リストのようになる）
  2. B1
  3. Clog₂ n
  4. D√n
4.データ構造むずかしい

AVL 木にキーを挿入すると、あるノードの左部分木が高くなりすぎました。新しいキーはその左の子の左部分木に入りました（左左の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. Aそのノードとその子の色を塗り替える
  2. B平衡が崩れたノードで 1 回の左回転
  3. C子で左回転し、次にそのノードで右回転
  4. D平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K4 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K4
H =
6.グラフ理論むずかしい
1015616881512ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える

これが答えになる理由

木をまたぐ辺の優先度付きキューを用いるプリム法は、二分ヒープを使うと O(E log V) で動作します。

答え

D · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · インクリメント 1 回あたり O(1)

これが答えになる理由

n 回のインクリメントでビット i は約 n / 2ⁱ 回反転するので、合計は 2n 回未満の反転となり、平均は 1 回あたり O(1) です。

答え

D · インクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造

答え: A · n（連結リストのようになる）

これが答えになる理由

ソート済みの挿入では高さ n の退化した木ができ、探索が O(n) になります。平衡木はこれを防ぎます。

答え

A · n（連結リストのようになる）
4.データ構造

答え: D · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

これが答えになる理由

左左の場合は、1 回の右回転で左の子が持ち上がり、平衡が回復します。ジグザグの場合は二重回転が必要です。

答え

D · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論

答え: H = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答え

H = 3
6.グラフ理論

答え: d(F) = 22

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 10, C: 15
B (10): G: 18
C (15): E: 16
E (16): F: 22
G (18): D: 33
F (22)
D (33)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 22

答え

d(F) = 22

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