データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフに対するベルマン－フォード法の時間計算量は何ですか？

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

n が大きいとき、n! と 2ⁿ はどのように比較されますか？

  1. An! は 2ⁿ より速く増加する
  2. Bn! は O(n²) である
  3. C同じ速さで増加する
  4. D2ⁿ は n! より速く増加する
3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

  1. Aヒープ全体を一から作り直す
  2. Bより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
  3. C配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
  4. D根に置き、下へ移動させる（sift down）
4.データ構造むずかしい

ランクによる合併（union by rank）も経路圧縮も使わない場合、n 要素の union-find 構造での 1 回の find の最悪コストはどれですか。

  1. AO(log n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 2 個, 次数 4 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 4 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 32 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
916191411432012ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 10
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(V × E)

これが答えになる理由

V − 1 回の各ラウンドで E 本すべての辺を緩和するので O(VE) になります。その代わり、負の辺の重みを扱えます。

答え

D · O(V × E)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · n! は 2ⁿ より速く増加する

これが答えになる理由

n ≥ 4 では n! は 2ⁿ を超え、n! の追加の因数はそれぞれ 2 より大きいので、比は限りなく大きくなります。

答え

A · n! は 2ⁿ より速く増加する
3.データ構造

答え: C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造

答え: C · O(n)

これが答えになる理由

素朴な合併では木が長い鎖状につながることがあるので、find は n − 1 個の親ポインタをたどることがあります。2 つのヒューリスティックを使えば、ほぼ定数に近づきます。

答え

C · O(n)
5.グラフ理論

答え: L = 17

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 37 = 2(L + 11) − 2
L = 17

答え

L = 17

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: W = 37

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AC (1): 取る
GC (3): 取る
DF (4): 取る
BC (6): 取る
AB (9): 飛ばす（閉路ができる）
DE (11): 取る
GE (12): 取る

重みの合計

W = 1 + 3 + 4 + 6 + 11 + 12 = 37

答え

W = 37

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