データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

多くのライブラリのソート関数が、非常に小さな部分配列では挿入ソートに切り替えるのはなぜですか？

  1. A挿入ソートは最悪の場合 O(n log n) だから
  2. B再帰アルゴリズムは 10 要素未満の配列を扱えないから
  3. C挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
  4. D大きな入力では、挿入ソートは他のどのソートアルゴリズムよりメモリが少なくて済むから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ベルマン－フォード法は、始点から到達可能な負の重みの閉路をどのように検出しますか？

  1. Aダイクストラ法を 2 回実行し、2 つの距離の結果を比べる
  2. BV − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
  3. C深さ優先探索で閉路を数える
  4. D負の重みをもつ辺があるかどうかを調べる
3.データ構造ふつう

「{[()]}」の括弧の対応がとれているかを調べるのに使われるデータ構造はどれですか。

  1. Aキュー
  2. B二分探索木
  3. Cスタック
  4. Dハッシュテーブル
4.データ構造むずかしい

n 個の数の配列に対するフェニック木（Binary Indexed Tree）が O(log n) でサポートする操作はどれですか。

  1. A任意の位置への要素の挿入
  2. B接頭辞和のクエリと単一要素の更新
  3. CO(1) での中央値の検索
  4. D配列のソートと二分探索
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 2 個, 次数 4 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 32 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
21215613715213ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから

これが答えになる理由

n が小さいときは、O(n²) であっても、挿入ソートの単純なループの方がクイックソートやマージソートの再帰のオーバーヘッドより速くなります。

答え

C · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる

これが答えになる理由

真の最短距離はすべて V − 1 回のラウンド以内に見つかります。それでも改善できる辺があれば、負の閉路が存在するはずです。

答え

B · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
3.データ構造

答え: C · スタック

これが答えになる理由

開き括弧ごとに push し、閉じ括弧が現れたら pop します。それは pop した括弧と対応していなければならず、最後にスタックは空でなければなりません。

答え

C · スタック
4.データ構造

答え: B · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新

これが答えになる理由

フェニック木は各インデックスの下位ビットによって決まる範囲の部分和を格納するので、接頭辞和と一点更新のどちらも O(log n) で済みます。

答え

B · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新
5.グラフ理論

答え: L = 17

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 33 = 2(L + 9) − 2
L = 17

答え

L = 17

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 25

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 2, C: 12
B (2)
C (12): E: 18, G: 27
E (18): D: 31, F: 25
F (25)
G (27): D: 29
D (29)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 25

答え

d(F) = 25

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