データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: for j = 1 to i: do O(1) work の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

次の充足可能性問題のうち、多項式時間で解けることが知られているのはどれですか？

  1. A連言標準形の式に対する一般の SAT
  2. B各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
  3. C各節のリテラルがちょうど 3 個の 3-SAT
  4. D回路充足可能性問題
3.データ構造ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフについて、隣接リストはどれだけのメモリを使いますか。

  1. AO(V²)
  2. BO(E²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
4.データ構造むずかしい

サーバーがハッシュ関数を万能（universal）族からランダムに選ぶのはなぜですか。

  1. Aテーブルのサイズを変更する必要をなくすため
  2. B攻撃者がどのようなキーを送っても、2 つのキーが決して衝突しないことを保証するため
  3. C攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため
  4. Dハッシュテーブルをソートされた状態にするため
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 10
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
14191781657ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n²)

これが答えになる理由

内側の本体は合計で n(n + 1) / 2 回実行され、これはやはり 2 乗です。

答え

D · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT

これが答えになる理由

2-SAT は P に属します（強連結成分を用いて線形時間）。一方、3-SAT は NP 完全です。

答え

B · 各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
3.データ構造

答え: C · O(V + E)

これが答えになる理由

各頂点がリストをもち、各辺は 1 回（有向）または 2 回（無向）現れるので、O(V + E) になります。

答え

C · O(V + E)
4.データ構造

答え: C · 攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため

これが答えになる理由

万能ハッシュでは、攻撃者はどの関数が選ばれたかを知らないので、どのようなキーの集合についても衝突の期待数は小さくなります。

答え

C · 攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

奇数次数の頂点

E, F → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: W = 42

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DE (5): 取る
BE (7): 取る
BD (8): 飛ばす（閉路ができる）
AB (14): 取る
CE (16): 取る

重みの合計

W = 5 + 7 + 14 + 16 = 42

答え

W = 42

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