データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

貪欲法（greedy algorithm）の説明として正しいものはどれですか？

  1. A常に最適解を与える
  2. B各ステップで局所的に最良の選択をする
  3. C再帰のみを使用する
  4. D可能なすべての解を試す
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

停止問題（halting problem）が示していることはどれですか？

  1. Aすべてのプログラムはいずれ停止する
  2. Bループは避けるべきである
  3. Cすべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
  4. D一部のプログラムは高速なコンピュータでより速く動作するので、停止するかどうかはハードウェアに依存するから
3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

  1. Aヒープ全体を一から作り直す
  2. B根に置き、下へ移動させる（sift down）
  3. Cより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
  4. D配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K8 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K8
H =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

B を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 各ステップで局所的に最良の選択をする

これが答えになる理由

貪欲法は高速で、一部の問題（例：Dijkstra、Huffman 符号化）では最適ですが、一般にはそうではありません（例：ある硬貨体系での両替問題）。

答え

B · 各ステップで局所的に最良の選択をする
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない

これが答えになる理由

Turing は停止問題が決定不能（undecidable）であることを示しました。判定器が存在すると仮定すると、その逆の動作をするプログラムとの間で矛盾が生じます。

答え

C · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
3.データ構造

答え: D · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

D · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

C · O(log n)
5.グラフ理論

答え: H = 2520

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答え

H = 2520
6.グラフ理論

答え: N = 4

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

共通の隣接頂点

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

答え

N = 4

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