データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

k 進数で d 桁の n 個の整数に対する LSD 基数ソートの実行時間は何ですか？

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

問題が NP 完全（NP-complete）であるのは、次のどの場合ですか？

  1. ANP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
  2. B停止問題のように、NP に属さないがすべての NP 問題より難しい
  3. C多項式時間で解ける
  4. D解くことが不可能である
3.データ構造ふつう

容量 n の配列に格納された循環キューで、インデックス i の次の位置はどのように計算されますか。

  1. A(i + 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C2i + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.データ構造むずかしい

配列の各要素について、その右側にある次に大きい要素を、合計 O(n) 時間で求めたいとします。役立つ構造はどれですか。

  1. A要素ごとに作り直す二分探索木
  2. Bすべての要素のハッシュテーブル
  3. C要素のすべての組を保持するキュー
  4. D答えを待っている要素を保持するスタック
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

B を始点かつ終点とする、長さ 3 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(d(n + k))

これが答えになる理由

d 回の各パスは O(n + k) のコストの計数ソートなので、d と k が固定なら全体は n について線形です。

答え

A · O(d(n + k))
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる

これが答えになる理由

NP 完全問題は NP の中で最も難しい問題であり、そのうち一つでも多項式時間アルゴリズムがあれば、NP 全体に対して多項式時間アルゴリズムが得られます。

答え

A · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
3.データ構造

答え: A · (i + 1) mod n

これが答えになる理由

剰余演算によりインデックス n − 1 は 0 に戻るので、要素をずらさずに配列を再利用できます。

答え

A · (i + 1) mod n
4.データ構造

答え: D · 答えを待っている要素を保持するスタック

これが答えになる理由

左から右へ走査し、スタック内の現在の要素より小さい要素をすべて pop し（現在の要素がそれらの答えになる）、それから現在の要素を push します。各要素は高々 2 回しか移動しません。

答え

D · 答えを待っている要素を保持するスタック
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇数次数の頂点

A, B, E, F → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: N = 6

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

もう 1 歩

(M³)BB = 1·1 + 4·0 + 2·1 + 1·1 + 2·1 + 1·0 = 6

答え

N = 6

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