データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: for j = 1 to i: do O(1) work の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

  1. AX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
  2. BX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
  3. CX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
  4. DX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
3.データ構造ふつう

「{[()]}」の括弧の対応がとれているかを調べるのに使われるデータ構造はどれですか。

  1. Aハッシュテーブル
  2. Bキュー
  3. Cスタック
  4. D二分探索木
4.データ構造むずかしい

データベースやファイルシステムで B 木が使われるのはなぜですか。

  1. A再平衡化が不要だから
  2. Bデータをソートせずに格納するから
  3. C分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
  4. Dどの配列よりもメモリ使用量が少ないので、索引全体が常に主記憶に収まるから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
146111618817ABCDE

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 2
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n²)

これが答えになる理由

内側の本体は合計で n(n + 1) / 2 回実行され、これはやはり 2 乗です。

答え

B · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造

答え: C · スタック

これが答えになる理由

開き括弧ごとに push し、閉じ括弧が現れたら pop します。それは pop した括弧と対応していなければならず、最後にスタックは空でなければなりません。

答え

C · スタック
4.データ構造

答え: C · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから

これが答えになる理由

B 木は 1 つのノードに多くのキーを格納するため高さが小さく、1 回の検索に必要なブロック読み込みが少なくて済みます。B+ 木はさらに範囲走査のために葉同士をつなぎます。

答え

C · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇数次数の頂点

E, F → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: 辺 DE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. AC (6)
2. DE (8)
3. BC (11)
4. BD (16)

辺の番号 2

DE

答え

辺 DE

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