データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ワーシャル－フロイド法は何を、どれくらいの速さで計算しますか？

  1. A1 つの始点から他のすべての頂点への最短経路を O(V + E) で
  2. B最小全域木を O(E log V) で
  3. Cトポロジカル順序を O(V²) で
  4. Dすべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

単方向連結リストでは、二分探索が O(log n) 時間にならないのはなぜですか？

  1. A連結リストのノードでの比較は遅いから
  2. B連結リストはソートできないから
  3. Cインデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
  4. D二分探索には少なくとも 2 倍のメモリが必要だから
3.データ構造ふつう

リストの中ほどにあるノードへの参照をもっています。どのリストなら、それを O(1) で削除できますか。

  1. A動的配列
  2. B双方向連結リスト
  3. Cソート済み配列
  4. D単方向連結リスト
4.データ構造むずかしい

ソート済み連結リストと比べたスキップリストの主な利点は何ですか。

  1. Aキーを順序なしで格納する
  2. B複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる
  3. C追加のメモリを使わない
  4. Dすべてのノードが他のすべてのノードへのポインタを持つので、O(1) の探索が保証される
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K4 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K4
H =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

F を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で

これが答えになる理由

ワーシャル－フロイド法は、各頂点を順に中継点として許していく動的計画法のアルゴリズムで、O(V³) 時間を使います。

答え

D · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから

これが答えになる理由

二分探索には中央への O(1) のアクセスが必要です。連結リストではそこまでたどるのに線形時間がかかるので、全体は O(n) になります。

答え

C · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造

答え: B · 双方向連結リスト

これが答えになる理由

双方向連結リストのノードは前のノードを知っているので、prev と next を直接つなぎ直せます。単方向連結リストでは前のノードを探さなければなりません。

答え

B · 双方向連結リスト
4.データ構造

答え: B · 複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる

これが答えになる理由

ランダムに決まるレベルによって探索で多くのノードを飛ばせるため、探索・挿入・削除の期待計算量は O(log n) になります。

答え

B · 複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる
5.グラフ理論

答え: H = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答え

H = 3
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

共通の隣接頂点

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

答え

N = 1

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