データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ならし解析（amortised analysis）は何を測りますか？

  1. Aランダムな入力に対する期待コスト
  2. B最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト
  3. C操作列のどこかにある、最もコストの高い 1 回の操作のコスト
  4. D最良の入力に対するアルゴリズムのコスト
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

未ソートの配列から k 番目に小さい要素を選択することについて、正しい記述はどれですか？

  1. A選択は O(n²) でしか行えない
  2. B選択にはソートが必要なので、常に Ω(n log n) が必要である
  3. Cクイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
  4. Dクイックセレクトはピボットの片側だけで再帰するので、最悪でも O(log n) で動作する
3.データ構造ふつう

V 個の頂点を持つグラフの隣接行列はどれだけのメモリを使いますか。

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
4.データ構造むずかしい

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、削除に「墓標」（tombstone）マーカーがよく使われるのはなぜですか。

  1. Aテーブルがソートされた状態になるから
  2. Bスロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
  3. C安全のため削除したキーを永久に保持する必要があり、スロットを再利用できないから
  4. D墓標がハッシュ計算を高速化するから
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 14 個の頂点と 24 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 14|E| = 24
k =
6.グラフ理論むずかしい
154118316171011ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト

これが答えになる理由

ならし解析は、まれな高コストの操作のコストを多数の低コストの操作に分散させ、どの操作列に対しても保証された平均を与えます。

答え

B · 最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する

これが答えになる理由

ランダムなピボットでは、クイックセレクトの期待作業量は n + n/2 + n/4 + ... = O(n) です。ピボットを中央値の中央値として選ぶと、最悪の場合も線形になります。

答え

C · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
3.データ構造

答え: D · O(V²)

これが答えになる理由

隣接行列は V × V 個の要素を格納し、密なグラフに効率的です。隣接リストは O(V + E) で、疎なグラフに適しています。

答え

D · O(V²)
4.データ構造

答え: B · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから

これが答えになる理由

削除したスロットが空になると、その後の探索が途中で止まり、探査チェーンのさらに先に配置されたキーを見逃すおそれがあります。

答え

B · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
5.グラフ理論

答え: k = 11

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

14 − 1 = 13

取り除く辺

k = 24 − 13 = 11

答え

k = 11
6.グラフ理論

答え: W = 45

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BC (1): 取る
DE (3): 取る
AC (4): 取る
GB (10): 取る
GE (11): 取る
AB (15): 飛ばす（閉路ができる）
DF (16): 取る

重みの合計

W = 1 + 3 + 4 + 10 + 11 + 16 = 45

答え

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms