データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(nlog₂ 7)、約 n2.81
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.データ構造ふつう

AVL 木はすべてのノードでどのような平衡条件を保っていますか。

  1. Aすべてのノードが赤または黒に塗られている
  2. Bすべての葉がちょうど同じ深さにある
  3. Cすべてのノードの両方の部分木が、まったく同じ数のノードを含む
  4. D左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造むずかしい

基数木（radix tree、圧縮トライ）は通常のトライをどのように改良していますか。

  1. A各ノードの子を頻度順にソートする
  2. B各単語を別々のノードではなく、根にあるハッシュテーブルに格納する
  3. C各単語の最初の文字だけを保持する
  4. D子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
8614151511591410ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 6 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(2ⁿ)

これが答えになる理由

呼び出しの数は段階ごとに 2 倍になり、段階は n 個あるので、ハノイの塔のように合計は約 2ⁿ になります。

答え

B · O(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · Θ(nlog₂ 7)、約 n2.81

これが答えになる理由

a = 7、b = 2 で、nlog₂ 7 が O(n²) の加算の作業量より支配的なので、約 n2.81 になります。

答え

B · Θ(nlog₂ 7)、約 n2.81
3.データ構造

答え: D · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である

これが答えになる理由

平衡係数（左の高さ − 右の高さ）は −1、0、1 のいずれかでなければなりません。挿入と削除の後は回転によってこれを回復します。

答え

D · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造

答え: D · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる

これが答えになる理由

分岐のない経路をまとめることで、接頭辞検索を保ったまま、ノードの数と使用メモリを減らします。

答え

D · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

奇数次数の頂点

E, F → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: E

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 8, C: 6
2. C (6): G: 15
3. B (8): D: 23
4. G (15): E: 25
5. D (23): F: 38
6. E (25): F: 26
7. F (26)

ラウンド 6

E

答え

E

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