データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法がマージソートを実質的に高速化しないのはなぜですか？

  1. A動的計画法はグラフ問題にしか使えず、配列には使えないから
  2. Bマージソートはすでに O(n) だから
  3. Cマージソートには再帰的な構造がないから
  4. D部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

最短単純路は多項式時間で見つけられます。一般のグラフで 2 頂点間の最長単純路を見つけることについて、何が知られていますか？

  1. A重みの符号を反転すればダイクストラ法で解ける
  2. BNP 困難である
  3. C決定不能である
  4. D常に O(V + E) で解ける
3.データ構造ふつう

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、負荷率の最大値はいくつですか。

  1. A0.5
  2. B2
  3. C最大値はない
  4. D1
4.データ構造むずかしい

赤黒木が満たさなければならない性質はどれですか。

  1. Aすべての赤ノードの子は赤でなければならないので、赤ノードは葉まで途切れなく連なる
  2. Bすべてのノードが赤でなければならない
  3. Cあるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい
  4. D根は赤でなければならない
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 11 個の頂点と 12 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 11|E| = 12
k =
6.グラフ理論むずかしい
48136106791311ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 4 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから

これが答えになる理由

マージソートの 2 つの半分は互いに素で、それぞれ一度だけ解かれます。DP が役立つのは、フィボナッチのように部分問題が繰り返し現れる場合だけです。

答え

D · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · NP 困難である

これが答えになる理由

長さ V − 1 の最長単純路はハミルトン路であり、これは NP 完全問題です。ただし有向非巡回グラフでは線形時間で解けます。

答え

B · NP 困難である
3.データ構造

答え: D · 1

これが答えになる理由

オープンアドレス法ではすべてのキーがテーブル自体に格納されるので、n は m を超えられません。チェイン法では負荷率が 1 を超えることがあります。

答え

D · 1
4.データ構造

答え: C · あるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい

これが答えになる理由

赤黒木の規則：ノードは赤か黒、根は黒、赤ノードの子は黒、すべての経路の黒高さが等しい。これにより高さは ≤ 2 log₂(n + 1) に保たれます。

答え

C · あるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい
5.グラフ理論

答え: k = 2

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

11 − 1 = 10

取り除く辺

k = 12 − 10 = 2

答え

k = 2
6.グラフ理論

答え: D

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 4, C: 8
2. B (4): D: 10, G: 13
3. C (8): E: 18
4. D (10): F: 16
5. G (13)
6. F (16)
7. E (18)

ラウンド 4

D

答え

D

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