データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ベルマン－フォード法は、始点から到達可能な負の重みの閉路をどのように検出しますか？

  1. AV − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
  2. B負の重みをもつ辺があるかどうかを調べる
  3. Cダイクストラ法を 2 回実行し、2 つの距離の結果を比べる
  4. D深さ優先探索で閉路を数える
3.データ構造ふつう

サイズ 7 のハッシュテーブルが h(k) = k mod 7 と線形探査法を使っています。10 を挿入した後、17 はどこに格納されますか。

  1. Aインデックス 3
  2. Bインデックス 0
  3. Cインデックス 6
  4. Dインデックス 4
4.データ構造むずかしい

ダブルハッシュ法が主に軽減する線形探査法の問題はどれですか。

  1. Aキーをテーブルに格納する必要があること
  2. Bハッシュ関数が必要であること
  3. C使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
  4. Dキーの値を読み取る O(n) のコスト
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 10 個の頂点と 19 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 10|E| = 19
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

B から D への長さ 3 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

問題は各ステップで半分になり、各ステップの作業量は定数なので、ステップ数は約 log₂ n です。

答え

C · O(log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる

これが答えになる理由

真の最短距離はすべて V − 1 回のラウンド以内に見つかります。それでも改善できる辺があれば、負の閉路が存在するはずです。

答え

A · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
3.データ構造

答え: D · インデックス 4

これが答えになる理由

10 mod 7 = 3、17 mod 7 = 3 です。インデックス 3 は使われているので、線形探査法は次のスロットであるインデックス 4 を試します。

答え

D · インデックス 4
4.データ構造

答え: C · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング

これが答えになる理由

線形探査法は 1 ずつ進むので、使用中の連なりが大きくなって合体します。ダブルハッシュ法は 2 つ目のハッシュを刻み幅に使うので、異なるキーは異なる系列を探査します。

答え

C · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
5.グラフ理論

答え: k = 10

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

10 − 1 = 9

取り除く辺

k = 19 − 9 = 10

答え

k = 10
6.グラフ理論

答え: N = 6

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

もう 1 歩

(M³)BD = 1·0 + 3·1 + 1·0 + 0·0 + 2·1 + 1·1 = 6

答え

N = 6

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