データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

22n は O(2ⁿ) に属しますか？

  1. Aいいえ。22n は 2ⁿ よりゆっくり増加するから
  2. Bいいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
  3. Cはい。Big O では指数の定数倍は常に無視されるから
  4. Dはい。どちらも指数的だから
3.データ構造ふつう

二分探索木で最小のキーはどのように見つけますか。

  1. Aすべての葉を訪問して比べる
  2. B根から左の子がなくなるまで左の子をたどる
  3. C根から右の子がなくなるまで右の子をたどる
  4. D根だけを見る
4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
13214461323ABCDEF

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

配列の再帰的な総和のように、定数の作業量をもつ段階が n 個あります。

答え

B · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · いいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから

これが答えになる理由

指数に定数を加えると定数倍になりますが、指数に定数を掛けると底と増加率が変わります。

答え

B · いいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
3.データ構造

答え: B · 根から左の子がなくなるまで左の子をたどる

これが答えになる理由

最も左のノードより小さいキーは木の中にないので、それが最小値です。コストは高さに比例します。

答え

B · 根から左の子がなくなるまで左の子をたどる
4.データ構造

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

C · O(log n)
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: C

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 13
2. B (13): C: 15, D: 27, E: 16
3. C (15)
4. E (16): D: 22, F: 18
5. F (18)
6. D (22)

ラウンド 3

C

答え

C

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