データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クラス NP の定義として正しいものはどれですか？

  1. A多項式でない問題
  2. B証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
  3. C多項式時間で解けない問題
  4. Dどのアルゴリズムでも解けない問題
3.データ構造ふつう

二分ヒープをポインタなしで配列に格納できるのはなぜですか。

  1. Aヒープは 100 個を超える要素を含むことがないから
  2. B配列は自動的にキーをソート順に保つので、ポインタが不要になるから
  3. C完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから
  4. Dヒープのすべてのキーは等しいから
4.データ構造むずかしい

配列のサイズ k のすべてのウィンドウの最大値を合計 O(n) で計算できる構造はどれですか。

  1. Aウィンドウの要素の単方向連結リスト
  2. B値の降順にインデックスを保持するデック
  3. Cずらすことで更新するソート済み配列
  4. Dウィンドウごとに作り直す最小ヒープ
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 18 個の頂点と 26 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 18|E| = 26
k =
6.グラフ理論むずかしい
15121147963213149ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(2ⁿ)

これが答えになる理由

呼び出しの数は段階ごとに 2 倍になり、段階は n 個あるので、ハノイの塔のように合計は約 2ⁿ になります。

答え

D · O(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題

これが答えになる理由

NP の問題では、たとえば与えられた割り当てがブール式を充足することの確認のように、提案された解（証拠）をすばやく検証できます。

答え

B · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
3.データ構造

答え: C · 完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから

これが答えになる理由

完全であることは隙間がないことを意味するので、インデックス i の子は常に 2i + 1 と 2i + 2 にあります。

答え

C · 完全二分木なので、位置が単純なインデックスの式に従うから
4.データ構造

答え: B · 値の降順にインデックスを保持するデック

これが答えになる理由

デックの先頭は常にウィンドウの最大値です。各インデックスはデックに 1 回入って 1 回出るので、作業量は線形です。

答え

B · 値の降順にインデックスを保持するデック
5.グラフ理論

答え: k = 9

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

18 − 1 = 17

取り除く辺

k = 26 − 17 = 9

答え

k = 9
6.グラフ理論

答え: d(F) = 22

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 15, C: 12
C (12): B: 13, E: 19, G: 25
B (13): D: 27, G: 15
G (15)
E (19): F: 22
F (22)
D (27)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 22

答え

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms