データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

プリム法は最小全域木をどのように構築しますか？

  1. A開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
  2. B幅優先探索を実行し、BFS 木を残す
  3. Cすべての辺を重みでソートし、森の中で閉路をつくる場合を除いて 1 本ずつ加える
  4. D閉路がなくなるまで最も高い辺を取り除く
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

次の充足可能性問題のうち、多項式時間で解けることが知られているのはどれですか？

  1. A各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
  2. B各節のリテラルがちょうど 3 個の 3-SAT
  3. C回路充足可能性問題
  4. D連言標準形の式に対する一般の SAT
3.データ構造ふつう

リストの中ほどにあるノードへの参照をもっています。どのリストなら、それを O(1) で削除できますか。

  1. A単方向連結リスト
  2. B双方向連結リスト
  3. Cソート済み配列
  4. D動的配列
4.データ構造むずかしい

ハッシュテーブルが正しく動作するためには、ハッシュと等価性はどの規則に従わなければなりませんか。

  1. A異なるキーは異なるハッシュ値をもたなければならない
  2. Bハッシュ値は素数でなければならない
  3. C等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない
  4. Dハッシュ値が等しければキーも等しい
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 3
L =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

C から D への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える

これが答えになる理由

木をまたぐ辺の優先度付きキューを用いるプリム法は、二分ヒープを使うと O(E log V) で動作します。

答え

A · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT

これが答えになる理由

2-SAT は P に属します（強連結成分を用いて線形時間）。一方、3-SAT は NP 完全です。

答え

A · 各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
3.データ構造

答え: B · 双方向連結リスト

これが答えになる理由

双方向連結リストのノードは前のノードを知っているので、prev と next を直接つなぎ直せます。単方向連結リストでは前のノードを探さなければなりません。

答え

B · 双方向連結リスト
4.データ構造

答え: C · 等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない

これが答えになる理由

等しい 2 つのキーのハッシュが異なれば、それらは異なるバケットに格納され、検索に失敗します。等しくないキーがハッシュを共有することはかまいません。

答え

C · 等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない
5.グラフ理論

答え: L = 4

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

答え

L = 4

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: N = 2

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)CD = 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

答え

N = 2

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