データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

AO(n)
BO(2ⁿ)
CO(n²)
DO(log n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) do O(1) work の時間計算量は何ですか？

AO(n log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(n √n)

3.データ構造ふつう

固定のアルファベットをもつトライで、長さ L の単語を探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

A格納されている単語の数に関係なく O(L)
BO(L × n)
C単語の数を n として O(log n)
D単語の数を n として O(n)

4.データ構造むずかしい

ヒープソートについて正しい記述はどれですか。

A安定で、O(n) の追加メモリを必要とする
B最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
Cどの入力に対しても O(n) 時間で動作する
D追加の記憶領域として二分探索木を必要とするので、O(n) の追加メモリを使う

5.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

6.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から G までの最短経路の長さd(G)を求めてください。

始点：A終点：G

d(G) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

配列の再帰的な総和のように、定数の作業量をもつ段階が n 個あります。

答え

A · O(n)

2.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n log n)

これが答えになる理由

合計は n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × H_n で、調和数 H_n は Θ(log n) です。

答え

A · O(n log n)

3.データ構造

答え: A · 格納されている単語の数に関係なく O(L)

これが答えになる理由

各文字が 1 つの子を選ぶので、トライにいくつの単語が含まれていても、検索は L ステップで済みます。

答え

A · 格納されている単語の数に関係なく O(L)

4.データ構造

答え: B · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない

これが答えになる理由

ヒープソートは最大ヒープを構築し、同じ配列内で最大値を n 回取り出します。遠く離れた位置どうしの交換によって、等しいキーの順序が入れ替わることがあります。

答え

B · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない

5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

オイラー閉路

答え

オイラー閉路

6.グラフ理論

答え: d(G) = 11

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 10, C: 10

B (10): D: 13, G: 11

C (10): E: 11

E (11): D: 12

G (11)

D (12): F: 24

F (24)

最短経路

A → B → G

d(G) = 11

答え

d(G) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms