データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

プリム法は最小全域木をどのように構築しますか？

  1. Aすべての辺を重みでソートし、森の中で閉路をつくる場合を除いて 1 本ずつ加える
  2. B幅優先探索を実行し、BFS 木を残す
  3. C開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
  4. D閉路がなくなるまで最も高い辺を取り除く
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフで、二分ヒープを用いたダイクストラ法の実行時間は何ですか？

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
3.データ構造ふつう

キーをソート済みの順序で挿入した場合、n 個のノードを持つ二分探索木の最悪の高さはいくつですか。

  1. A1
  2. B√n
  3. Cn（連結リストのようになる）
  4. Dlog₂ n
4.データ構造むずかしい

基数木（radix tree、圧縮トライ）は通常のトライをどのように改良していますか。

  1. A子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる
  2. B各ノードの子を頻度順にソートする
  3. C各単語の最初の文字だけを保持する
  4. D各単語を別々のノードではなく、根にあるハッシュテーブルに格納する
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 6 個の頂点と 12 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 6|E| = 12
k =
6.グラフ理論むずかしい
48131914201ABCDE

プリム法は、頂点 C から始めて最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ck = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える

これが答えになる理由

木をまたぐ辺の優先度付きキューを用いるプリム法は、二分ヒープを使うと O(E log V) で動作します。

答え

C · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · O((V + E) log V)

これが答えになる理由

V 回の最小値取り出しと最大 E 回のキー減少操作があり、それぞれ O(log V) です。フィボナッチヒープを使うと O(E + V log V) に改善されます。

答え

C · O((V + E) log V)
3.データ構造

答え: C · n（連結リストのようになる）

これが答えになる理由

ソート済みの挿入では高さ n の退化した木ができ、探索が O(n) になります。平衡木はこれを防ぎます。

答え

C · n（連結リストのようになる）
4.データ構造

答え: A · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる

これが答えになる理由

分岐のない経路をまとめることで、接頭辞検索を保ったまま、ノードの数と使用メモリを減らします。

答え

A · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる
5.グラフ理論

答え: k = 7

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

6 − 1 = 5

取り除く辺

k = 12 − 5 = 7

答え

k = 7
6.グラフ理論

答え: 辺 BE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AC (8)
2. AB (4)
3. BE (1)
4. BD (19)

辺の番号 3

BE

答え

辺 BE

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