データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

標準的な 3 重ループで 2 つの n × n 行列を掛ける時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(nlog₂ 7)、約 n2.81
3.データ構造ふつう

高さを辺の数で数えるとき、高さ h の完全（perfect）二分木にはいくつのノードがありますか。

  1. A2h + 1
  2. Bh2
  3. C2h
  4. D2h+1 − 1
4.データ構造むずかしい

n 個の数の配列に対するフェニック木（Binary Indexed Tree）が O(log n) でサポートする操作はどれですか。

  1. A任意の位置への要素の挿入
  2. BO(1) での中央値の検索
  3. C配列のソートと二分探索
  4. D接頭辞和のクエリと単一要素の更新
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
1510451911632ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(n³)

これが答えになる理由

要素は n² 個あり、それぞれに n 回の掛け算が必要なので、n³ 回の演算になります。

答え

C · O(n³)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(nlog₂ 7)、約 n2.81

これが答えになる理由

a = 7、b = 2 で、nlog₂ 7 が O(n²) の加算の作業量より支配的なので、約 n2.81 になります。

答え

D · Θ(nlog₂ 7)、約 n2.81
3.データ構造

答え: D · 2h+1 − 1

これが答えになる理由

1 + 2 + 4 + ... + 2h を合計すると 2h+1 − 1 になります。たとえば高さ 2 では 7 個のノードです。

答え

D · 2h+1 − 1
4.データ構造

答え: D · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新

これが答えになる理由

フェニック木は各インデックスの下位ビットによって決まる範囲の部分和を格納するので、接頭辞和と一点更新のどちらも O(log n) で済みます。

答え

D · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: W = 35

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

EF (1): 取る
GE (2): 取る
GC (3): 取る
BD (4): 取る
CE (5): 飛ばす（閉路ができる）
AC (10): 取る
AB (15): 取る

重みの合計

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 10 + 15 = 35

答え

W = 35

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