データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

貪欲法（greedy algorithm）の説明として正しいものはどれですか？

  1. A各ステップで局所的に最良の選択をする
  2. B可能なすべての解を試す
  3. C常に最適解を与える
  4. D再帰のみを使用する
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

1 回のインクリメントで多くのビットが反転することがあるとして、2 進カウンタのインクリメントのならしコストは何ですか？

  1. Aインクリメント 1 回あたり O(log n)
  2. Bインクリメント 1 回あたり O(n)
  3. Cインクリメント 1 回あたり O(n log n)
  4. Dインクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造ふつう

n 要素の配列の中央に要素を挿入するコストはどれですか。

  1. A二分探索のため O(log n)
  2. B後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
  3. C各要素が n 回移動するので O(n²)
  4. Dインデックスがわかっているので O(1)
4.データ構造むずかしい

ヒープソートについて正しい記述はどれですか。

  1. A追加の記憶領域として二分探索木を必要とするので、O(n) の追加メモリを使う
  2. Bどの入力に対しても O(n) 時間で動作する
  3. C安定で、O(n) の追加メモリを必要とする
  4. D最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 17 個の頂点と 25 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 17|E| = 25
k =
6.グラフ理論むずかしい
133141111572ABCDEF

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 各ステップで局所的に最良の選択をする

これが答えになる理由

貪欲法は高速で、一部の問題（例：Dijkstra、Huffman 符号化）では最適ですが、一般にはそうではありません（例：ある硬貨体系での両替問題）。

答え

A · 各ステップで局所的に最良の選択をする
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · インクリメント 1 回あたり O(1)

これが答えになる理由

n 回のインクリメントでビット i は約 n / 2ⁱ 回反転するので、合計は 2n 回未満の反転となり、平均は 1 回あたり O(1) です。

答え

D · インクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造

答え: B · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)

これが答えになる理由

挿入位置より後のすべての要素が 1 つ右に移動するので、n に比例する時間がかかります。

答え

B · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
4.データ構造

答え: D · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない

これが答えになる理由

ヒープソートは最大ヒープを構築し、同じ配列内で最大値を n 回取り出します。遠く離れた位置どうしの交換によって、等しいキーの順序が入れ替わることがあります。

答え

D · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
5.グラフ理論

答え: k = 9

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

17 − 1 = 16

取り除く辺

k = 25 − 16 = 9

答え

k = 9
6.グラフ理論

答え: B

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): C: 13
2. C (13): B: 16, E: 24
3. B (16): D: 30, E: 18
4. E (18): D: 19, F: 25
5. D (19)
6. F (25)

ラウンド 3

B

答え

B

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