データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1,000,000 要素のソート済み配列に対して、二分探索は最悪の場合およそ何回の比較を必要としますか？

  1. A約 500,000 回
  2. B約 1,000 回
  3. C約 20 回
  4. D約 100 回
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

極大マッチングのすべての辺の両端点をとると頂点被覆が得られます。この被覆はどれくらいよいですか？

  1. A最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍
  2. B最適解と比べた品質は不明
  3. C常に最小頂点被覆
  4. D最小値の高々 log n 倍
3.データ構造ふつう

無向グラフの隣接行列について正しいのはどれですか。

  1. A常に上三角行列である
  2. B主対角線に関して対称である
  3. C各行にちょうど 1 つの 1 がある
  4. D主対角線には常に 1 が入っている
4.データ構造むずかしい

ダブルハッシュ法が主に軽減する線形探査法の問題はどれですか。

  1. Aキーをテーブルに格納する必要があること
  2. B使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
  3. Cキーの値を読み取る O(n) のコスト
  4. Dハッシュ関数が必要であること
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 33 × deg 53 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
6549121112ABCDEF

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 約 20 回

これが答えになる理由

220 ≈ 1,048,576 なので、約 20 回半分にすると要素は 1 つだけ残ります。

答え

C · 約 20 回
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍

これが答えになる理由

マッチングの辺は頂点を共有しないので、最適解には辺ごとに少なくとも 1 頂点が必要ですが、この方法は 2 頂点をとります。つまり 2 近似です。

答え

A · 最小頂点被覆のサイズの高々 2 倍
3.データ構造

答え: B · 主対角線に関して対称である

これが答えになる理由

無向グラフでは辺 {u, v} は M[u][v] と M[v][u] の両方が設定されることを意味するので、行列はその転置と等しくなります。

答え

B · 主対角線に関して対称である
4.データ構造

答え: B · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング

これが答えになる理由

線形探査法は 1 ずつ進むので、使用中の連なりが大きくなって合体します。ダブルハッシュ法は 2 つ目のハッシュを刻み幅に使うので、異なるキーは異なる系列を探査します。

答え

B · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
5.グラフ理論

答え: L = 13

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 27 = 2(L + 8) − 2
L = 13

答え

L = 13

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: W = 23

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

CE (1): 取る
DE (2): 取る
BC (4): 取る
AC (5): 取る
AB (6): 飛ばす（閉路ができる）
BD (9): 飛ばす（閉路ができる）
DF (11): 取る

重みの合計

W = 1 + 2 + 4 + 5 + 11 = 23

答え

W = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms