データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

あるクイックソートは常に最初の要素をピボットに使います。どの入力で最悪の振る舞いを示しますか？

  1. Aすでにソートされている配列
  2. Bすべての要素が異なる配列
  3. C長さ 2 の配列
  4. Dランダムな順序の配列
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

最短単純路は多項式時間で見つけられます。一般のグラフで 2 頂点間の最長単純路を見つけることについて、何が知られていますか？

  1. A決定不能である
  2. B常に O(V + E) で解ける
  3. CNP 困難である
  4. D重みの符号を反転すればダイクストラ法で解ける
3.データ構造ふつう

キー 50, 30, 70, 20, 40 をこの順に空の二分探索木に挿入します。30 の左の子は何ですか。

  1. A20
  2. B70
  3. C50
  4. D40
4.データ構造むずかしい

サーバーがハッシュ関数を万能（universal）族からランダムに選ぶのはなぜですか。

  1. Aテーブルのサイズを変更する必要をなくすため
  2. Bハッシュテーブルをソートされた状態にするため
  3. C攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため
  4. D攻撃者がどのようなキーを送っても、2 つのキーが決して衝突しないことを保証するため
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 4 個, 次数 4 の頂点が 3 個, 次数 5 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
1510515393ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · すでにソートされている配列

これが答えになる理由

ソート済みの入力ではピボットが常に最小値になるので、一方は空、もう一方は n − 1 個の要素となり、O(n²) になります。

答え

A · すでにソートされている配列
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · NP 困難である

これが答えになる理由

長さ V − 1 の最長単純路はハミルトン路であり、これは NP 完全問題です。ただし有向非巡回グラフでは線形時間で解けます。

答え

C · NP 困難である
3.データ構造

答え: A · 20

これが答えになる理由

20 は 50 より小さく 30 より小さいので、30 の左の子になります。40 は 30 の右の子になります。

答え

A · 20
4.データ構造

答え: C · 攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため

これが答えになる理由

万能ハッシュでは、攻撃者はどの関数が選ばれたかを知らないので、どのようなキーの集合についても衝突の期待数は小さくなります。

答え

C · 攻撃者がすべて衝突する多数のキーを選べる可能性をきわめて低くするため
5.グラフ理論

答え: L = 18

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 34 = 2(L + 9) − 2
L = 18

答え

L = 18

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 9

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 1, C: 5
B (1): D: 6, E: 4
E (4): F: 13
C (5)
D (6): F: 9
F (9)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 9

答え

d(F) = 9

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