微分方程式
- 指数関数的な増加・減少
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半減期
- k = ln 2 / t½
- ニュートンの冷却法則
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 積分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合タンク
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程式：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
数値計算法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- ニュートン–ラフソン法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 線形補間
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 台形公式
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- シンプソンの公式（n は偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 台形公式の誤差評価
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- オイラー
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ホイン法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
解き方
- 方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
- 表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
- 積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
- 常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。
2演習問題
1.微分方程式ふつう
y(0) = 1、y′(0) = -2 として y″ + 2y′ + y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(0.5) =
2.微分方程式むずかしい
系が t ≥ 0 で y″ + 4y′ + 13y = 13 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.25) を求めなさい。角度はラジアンとします。
y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
3.積分ふつう
I = ∫₀1 x·sin x dx（x はラジアン）を計算しなさい。
∫₀1 x·sin x dx
I =
4.積分むずかしい
I = ∫₀0.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀0.5 x²eˣ dx
I =
5.微分ふつう
f(x) = (2x + 3)5 とします。f′(1) を求めなさい。
f(x) = (2x + 3)5x = 1
f′(1) =
6.微分むずかしい
f(x) = −x2 + 5x + 1 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = −x2 + 5x + 1x = 3
b =
7.数値計算法ふつう
台形公式を n = 4 で使って ∫02 x³ dx を近似し、厳密な値と比べてください。絶対誤差 |E| = |T − I| を求めてください。
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 4
|E| =
8.数値計算法むずかしい
オイラー法を h = 0.5 で y′ = 1 + sin(ty)、y(0) = 0.5 に使い、y4 ≈ y(2) を推定してください。
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.5
y4 =
3溶液
1.微分方程式
答え: y(0.5) = 0.3033
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
重根
(r + 1)² = 0 → r = −1
定数
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 1A → B = -2 + 1 = -1
計算する
y(0.5) = (1 + (−1)·0.5)·e−0.5 = 0.3033
答え
y(0.5) = 0.3033
2.微分方程式
答え: y(0.25) = 0.2806
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
定常値と根
yss = 1, r = −2 ± 3j
初期値から求める定数
y(0) = 1 + A = 0 → A = −1
y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −0.6667
計算する
y(0.25) = 1·(1 − e−0.5(cos 0.75 + 0.6667·sin 0.75)) = 0.2806
答え
y(0.25) = 0.2806
3.積分
答え: I = 0.3012
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
u と dv を選ぶ
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
原始関数
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
極限
(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0.3012
答え
I = 0.3012
4.積分
答え: I = 0.0609
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609
答え
I = 0.0609
5.微分
答え: f′(1) = 6250
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
連鎖律
f′(x) = 5·(2x + 3)4·2
代入する
f′(1) = 5·54·2 = 6250
答え
f′(1) = 6250
6.微分
答え: b = 10
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(3) = 7
f′(x) = −2x + 5 → f′(3) = −1
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − (−1)·3 = 10
答え
b = 10
7.数値計算法
答え: |E| = 0.25
数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。
厳密な値
I = 4
台形公式
T = (0.5/2)·(0 + 2·0.125 + 2·1 + 2·3.375 + 8) = 4.25
誤差
|E| = |4.25 − 4| = 0.25
答え
|E| = 0.25
相対誤差：6.25%。
8.数値計算法
答え: y4 = 2.824
y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。
オイラー法のステップ
y₁ = 0.5 + 0.5·(1) = 1
y₂ = 1 + 0.5·(1.479426) = 1.739713
y₃ = 1.739713 + 0.5·(1.985768) = 2.732597
y₄ = 2.732597 + 0.5·(0.182359) = 2.823776
グラフ
y4 = 2.824
答え
y4 = 2.824
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