微分方程式
- 指数関数的な増加・減少
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半減期
- k = ln 2 / t½
- ニュートンの冷却法則
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 積分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合タンク
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程式：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
数値計算法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- ニュートン–ラフソン法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 線形補間
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 台形公式
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- シンプソンの公式（n は偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 台形公式の誤差評価
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- オイラー
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ホイン法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
解き方
- 方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
- 表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
- 積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
- 常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。
2演習問題
1.微分方程式ふつう
y(0) = 1、y′(0) = 1 として y″ + 4y′ + 3y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 1y′(0) = 1
y(1) =
2.微分方程式むずかしい
系が t ≥ 0 で y″ + y′ + 4.25y = 21.25 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 ymax を求めなさい。
y″ + y′ + 4.25y = 21.25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3.積分ふつう
y = √(2x) の下の x = 0 から x = 1 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。
y = √(2x)0 ≤ x ≤ 1
V =
4.積分むずかしい
直線 y = 3x と放物線 y = 2x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
y = 3xy = 2x²
V =
5.微分ふつう
f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(1) を求めなさい。
f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad
f′(1) =
6.微分むずかしい
f(x) = x3 − 1.5x2 − 6x + 4 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 1.5x2 − 6x + 4
x =
7.数値計算法ふつう
シンプソンの公式を n = 2 個の短冊で使って、∫03 √x·e−x dx を近似してください。S を答えてください。
f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 2
S =
8.数値計算法むずかしい
オイラー法を h = 0.25 で y′ = t² + y²、y(0) = 1 に使い、y3 ≈ y(0.75) を推定してください。
y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0.25
y3 =
3溶液
1.微分方程式
答え: y(1) = 0.686
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
特性方程式の根
(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3
初期値から求める定数
A + B = 1, −1A − 3B = 1
A = 2, B = −1
計算する
y(1) = 2·e−1 + (−1)·e−3 = 0.686
答え
y(1) = 0.686
2.微分方程式
答え: ymax = 7.28
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
定常値と根
yss = 5, r = −0.5 ± 2j
初期値から求める定数
y(0) = 5 + A = 0 → A = −5
y′(0) = −0.5A + 2B = 0 → B = −1.25
ピーク
t = π/2 = 1.571
ymax = 5·(1 + e−0.5·π/2) = 7.28
答え
ymax = 7.28
3.積分
答え: V = 3.142
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
円板法
V = π∫₀1 2x dx
積分する
V = π·2·1²/2 = 3.142
答え
V = 3.142
4.積分
答え: V = 12.72
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
交点
3x = 2x² → x = 0, x = 1.5
ワッシャー法
V = π∫₀1.5 ((3x)² − (2x²)²) dx
積分する
V = π(9·1.5³/3 − 4·1.5⁵/5) = π·4.05 = 12.72
答え
V = 12.72
5.微分
答え: f′(1) = −2.829
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)
代入する
f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829
答え
f′(1) = −2.829
6.微分
答え: x = 2
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 3x − 6 = 3·(x2 − x − 2)
f′(x) = 0 を解く
x = −1 または x = 2
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 3：極大では負、極小では正。
f″(−1) = −9, f″(2) = 9
x = 2
答え
x = 2
7.数値計算法
答え: S = 0.5897
数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。
節点と値
h = 1.5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0.273278 + 0.0862337 = 1.179344
シンプソンの公式
S = (1.5/3)·1.179344 = 0.5897
答え
S = 0.5897
この積分には初等的な原始関数がなく、まさにそのようなときに数値的な公式が必要になります。
8.数値計算法
答え: y3 = 2.405
y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。
オイラー法のステップ
y₁ = 1 + 0.25·(1) = 1.25
y₂ = 1.25 + 0.25·(1.625) = 1.65625
y₃ = 1.65625 + 0.25·(2.993164) = 2.404541
グラフ
y3 = 2.405
答え
y3 = 2.405
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