微分方程式
- 指数関数的な増加・減少
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半減期
- k = ln 2 / t½
- ニュートンの冷却法則
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 積分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合タンク
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程式：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
数値計算法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- ニュートン–ラフソン法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 線形補間
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 台形公式
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- シンプソンの公式（n は偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 台形公式の誤差評価
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- オイラー
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ホイン法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
解き方
- 方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
- 表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
- 積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
- 常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。
2演習問題
1.微分方程式ふつう
y(0) = 4、y′(0) = 2 として y″ + 8y′ + 15y = 0 を解きなさい。y(2) を求めなさい。
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 4y′(0) = 2
y(2) =
2.微分方程式むずかしい
y(0) = 5、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + y′ + 4.25y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。
y″ + y′ + 4.25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
3.積分ふつう
y = 2x の下の x = 0 から x = 4 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。
y = 2x0 ≤ x ≤ 4
V =
4.積分むずかしい
直線 y = 3x と放物線 y = x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
y = 3xy = x²
V =
5.微分ふつう
f(x) = ln(3x2 + 2) とします。f′(−1) を求めなさい。
f(x) = ln(3x2 + 2)x = −1
f′(−1) =
6.微分むずかしい
f(x) = 3x2 + 5 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 3x2 + 5x = 3
b =
7.数値計算法ふつう
∫01 sin x dx に台形公式を使います。誤差は、[0, 1] 上で M = max|f″| として、最大でも (b − a)³·M/(12n²) です。誤差が 0.001 未満になることを保証する最小の短冊の数 n を求めてください。
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0.001
n =
8.数値計算法むずかしい
オイラー法を h = 0.1 で y′ = y(2 − y)、y(0) = 0.2 に使い、y5 ≈ y(0.5) を推定してください。
y′ = y(2 − y)y(0) = 0.2h = 0.1
y5 =
3溶液
1.微分方程式
答え: y(2) = 0.02695
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
特性方程式の根
(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5
初期値から求める定数
A + B = 4, −3A − 5B = 2
A = 11, B = −7
計算する
y(2) = 11·e−6 + (−7)·e−10 = 0.02695
答え
y(2) = 0.02695
2.微分方程式
答え: y(1.5) = −2.255
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
複素根
r = −0.5 ± 2j
定数
A = 5, B = 0.5·5/2 = 1.25
計算する
y(1.5) = e−0.75(5·cos 3 + 1.25·sin 3) = −2.255
答え
y(1.5) = −2.255
3.積分
答え: V = 268.1
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
円板法
V = π∫₀4 4x² dx
積分する
V = π·4·4³/3 = 268.1
答え
V = 268.1
確認：半径 8、高さ 4 の円錐は (1/3)πr²h = 268.1 です。
4.積分
答え: V = 101.8
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
交点
3x = 1x² → x = 0, x = 3
ワッシャー法
V = π∫₀3 ((3x)² − (1x²)²) dx
積分する
V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32.4 = 101.8
答え
V = 101.8
5.微分
答え: f′(−1) = −1.2
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
対数の連鎖律
f′(x) = 6x/(3x2 + 2)
代入する
f′(−1) = −6/5 = −1.2
答え
f′(−1) = −1.2
6.微分
答え: b = −22
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(3) = 32
f′(x) = 6x → f′(3) = 18
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 32 − 18·3 = −22
答え
b = −22
7.数値計算法
答え: n = 9
数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。
2 階導関数の評価
M = sin 1 = 0.8415
n について解く
n² > 1·0.8415/(12·0.001) = 70.12
n > 8.374 → n = 9
答え
n = 9
8.数値計算法
答え: y5 = 0.4415
y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。
オイラー法のステップ
y₁ = 0.2 + 0.1·(0.36) = 0.236
y₂ = 0.236 + 0.1·(0.416304) = 0.27763
y₃ = 0.27763 + 0.1·(0.478182) = 0.325449
y₄ = 0.325449 + 0.1·(0.54498) = 0.379947
y₅ = 0.379947 + 0.1·(0.615534) = 0.4415
グラフ
y5 = 0.4415
答え
y5 = 0.4415
厳密な値は y(0.5) = 0.463939 です。
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations