微分方程式：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

数値計算法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
ニュートン–ラフソン法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
線形補間: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
台形公式: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
シンプソンの公式（n は偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
台形公式の誤差評価: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
オイラー: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ホイン法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

解き方

方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。

2演習問題

1.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = 4 として y″ + 6y′ + 5y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 3y′(0) = 4

y(1) =

2.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 4y′ + 8y = 40 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.75) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

3.積分ふつう

I = ∫₀^π/3 x·sin x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

4.積分むずかしい

直線 y = 3x と放物線 y = 3x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 3xy = 3x²

V =

5.微分ふつう

f(x) = (2x + 5)³ とします。f′(0) を求めなさい。

f(x) = (2x + 5)³x = 0

f′(0) =

6.微分むずかしい

f(x) = x³ − 12x² + 45x − 6 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 12x² + 45x − 6

x =

7.数値計算法ふつう

シンプソンの公式を n = 2 で使って ∫₀³ sin x dx を近似し、厳密な値と比べてください。絶対誤差 |E| = |S − I| を求めてください。

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 2

|E| =

8.数値計算法むずかしい

ホイン法（改良オイラー法）を h = 0.2 で y′ = 1 + sin(ty)、y(0) = 1 に使い、y₂ ≈ y(0.4) を推定してください。

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0.2

y₂ =

3溶液

1.微分方程式

答え: y(1) = 1.736

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

初期値から求める定数

A + B = 3, −1A − 5B = 4

A = 4.75, B = −1.75

計算する

y(1) = 4.75·e⁻¹ + (−1.75)·e⁻⁵ = 1.736

答え

y(1) = 1.736

2.微分方程式

答え: y(0.75) = 3.808

定常値と根

y_ss = 5, r = −2 ± 2j

初期値から求める定数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −5

計算する

y(0.75) = 5·(1 − e^−1.5(cos 1.5 + 1·sin 1.5)) = 3.808

答え

y(0.75) = 3.808

3.積分

答え: I = 0.3424

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原始関数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

極限

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0.3424

答え

I = 0.3424

4.積分

答え: V = 3.77

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

3x = 3x² → x = 0, x = 1

ワッシャー法

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

積分する

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77

答え

V = 3.77

5.微分

答え: f′(0) = 150

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 3·(2x + 5)²·2

代入する

f′(0) = 3·5²·2 = 150

答え

f′(0) = 150

6.微分

答え: x = 3

導関数

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

f′(x) = 0 を解く

x = 3 または x = 5

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 24：極大では負、極小では正。

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 3

答え

x = 3

7.数値計算法

答え: |E| = 0.07556

数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。

厳密な値

I = 1.989992

シンプソンの公式

S = (1.5/3)·(0 + 4·0.997495 + 0.14112) = 2.06555

誤差

|E| = |2.06555 − 1.989992| = 0.07556

答え

|E| = 0.07556

相対誤差：3.797%。

8.数値計算法

答え: y₂ = 1.504

y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。

ホイン法のステップ

y₁ = 1 + (0.2/2)(1 + 1.237703) = 1.22377

y₂ = 1.22377 + (0.2/2)(1.242318 + 1.555441) = 1.503546

グラフ

y₂ = 1.504

答え

y₂ = 1.504

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