微分方程式
- 指数関数的な増加・減少
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半減期
- k = ln 2 / t½
- ニュートンの冷却法則
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 積分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合タンク
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程式：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
数値計算法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- ニュートン–ラフソン法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 線形補間
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 台形公式
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- シンプソンの公式（n は偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 台形公式の誤差評価
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- オイラー
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ホイン法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
解き方
- 方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
- 表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
- 積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
- 常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。
2演習問題
1.微分方程式ふつう
y(0) = 4、y′(0) = -2 として y″ + 7y′ + 12y = 0 を解きなさい。y(2) を求めなさい。
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = -2
y(2) =
2.微分方程式むずかしい
系が t ≥ 0 で y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。
y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
3.積分ふつう
I = ∫₁4 x·ln x dx を計算しなさい。
∫₁4 x ln x dx
I =
4.積分むずかしい
I = ∫₀1.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀1.5 x²eˣ dx
I =
5.微分ふつう
f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(1) を求めなさい。
f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad
f′(1) =
6.微分むずかしい
f(x) = x3 + 4.5x2 + 6x + 4 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 + 4.5x2 + 6x + 4
x =
7.数値計算法ふつう
シンプソンの公式を n = 6 個の短冊で使って、∫01 1/√(1 + x⁴) dx を近似してください。S を答えてください。
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
8.数値計算法むずかしい
古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）を、h = 0.1 で 1 ステップ、y′ = 1 + sin(ty)、y(0) = 1 に適用してください。y₁ ≈ y(0.1) を求めてください。
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0.1
y1 =
3溶液
1.微分方程式
答え: y(2) = 0.03135
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
特性方程式の根
(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4
初期値から求める定数
A + B = 4, −3A − 4B = -2
A = 14, B = −10
計算する
y(2) = 14·e−6 + (−10)·e−8 = 0.03135
答え
y(2) = 0.03135
2.微分方程式
答え: y(0.5) = 1.036
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
定常値と根
yss = 1, r = −1.5 ± 4j
初期値から求める定数
y(0) = 1 + A = 0 → A = −1
y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.375
計算する
y(0.5) = 1·(1 − e−0.75(cos 2 + 0.375·sin 2)) = 1.036
答え
y(0.5) = 1.036
3.積分
答え: I = 7.34
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
u と dv を選ぶ
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原始関数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
極限
(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34
答え
I = 7.34
4.積分
答え: I = 3.602
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602
答え
I = 3.602
5.微分
答え: f′(1) = −2.829
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)
代入する
f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829
答え
f′(1) = −2.829
6.微分
答え: x = −1
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 + 9x + 6 = 3·(x2 + 3x + 2)
f′(x) = 0 を解く
x = −2 または x = −1
どちらがどちらか
f″(x) = 6x + 9：極大では負、極小では正。
f″(−2) = −3, f″(−1) = 3
x = −1
答え
x = −1
7.数値計算法
答え: S = 0.9271
数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。
節点と値
h = 0.1667
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.999614 + 2·0.993884 + 4·0.970143 + 2·0.913812 + 4·0.82137 + 0.707107 = 16.687005
シンプソンの公式
S = (0.1667/3)·16.687005 = 0.9271
答え
S = 0.9271
この積分には初等的な原始関数がなく、まさにそのようなときに数値的な公式が必要になります。
8.数値計算法
答え: y1 = 1.105
y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。
4 つの傾き
k₁ = f(0, 1) = 1
k₂ = f(0.05, 1.05) = 1.052476
k₃ = f(0.05, 1.052624) = 1.052607
k₄ = f(0.1, 1.105261) = 1.110301
組み合わせる
y₁ = 1 + (0.1/6)(1 + 2·1.052476 + 2·1.052607 + 1.110301) = 1.105
答え
y1 = 1.105
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