微分方程式
- 指数関数的な増加・減少
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半減期
- k = ln 2 / t½
- ニュートンの冷却法則
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 積分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合タンク
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程式：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
数値計算法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- ニュートン–ラフソン法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 線形補間
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 台形公式
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- シンプソンの公式（n は偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 台形公式の誤差評価
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- オイラー
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ホイン法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
解き方
- 方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
- 表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
- 積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
- 常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。
2演習問題
1.微分方程式ふつう
y(0) = 5、y′(0) = 0 として y″ + 2y′ + y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.5) =
2.微分方程式むずかしい
系が t ≥ 0 で y″ + 2y′ + 5y = 25 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.75) を求めなさい。角度はラジアンとします。
y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
3.積分ふつう
y = 0.5x の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。
y = 0.5x0 ≤ x ≤ 2
V =
4.積分むずかしい
I = ∫₀3 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀3 x²eˣ dx
I =
5.微分ふつう
f(x) = x·sin(x)（x はラジアン）とします。f′(0.5) を求めなさい。
f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
6.微分むずかしい
f(x) = x3 − 12x2 + 45x − 4 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 12x2 + 45x − 4
x =
7.数値計算法ふつう
∫01 x³ dx に台形公式を使います。誤差は、[0, 1] 上で M = max|f″| として、最大でも (b − a)³·M/(12n²) です。誤差が 1 × 10⁻⁵ 未満になることを保証する最小の短冊の数 n を求めてください。
f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
8.数値計算法むずかしい
古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）を、h = 0.1 で 1 ステップ、y′ = 1 + sin(ty)、y(0) = 0.5 に適用してください。y₁ ≈ y(0.1) を求めてください。
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.1
y1 =
3溶液
1.微分方程式
答え: y(0.5) = 4.549
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
重根
(r + 1)² = 0 → r = −1
定数
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 1A → B = 0 + 5 = 5
計算する
y(0.5) = (5 + 5·0.5)·e−0.5 = 4.549
答え
y(0.5) = 4.549
2.微分方程式
答え: y(0.75) = 3.655
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
定常値と根
yss = 5, r = −1 ± 2j
初期値から求める定数
y(0) = 5 + A = 0 → A = −5
y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −2.5
計算する
y(0.75) = 5·(1 − e−0.75(cos 1.5 + 0.5·sin 1.5)) = 3.655
答え
y(0.75) = 3.655
3.積分
答え: V = 2.094
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
円板法
V = π∫₀2 0.25x² dx
積分する
V = π·0.25·2³/3 = 2.094
答え
V = 2.094
確認：半径 1、高さ 2 の円錐は (1/3)πr²h = 2.094 です。
4.積分
答え: I = 98.43
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
20.09·(5) − 1·2 = 98.43
答え
I = 98.43
5.微分
答え: f′(0.5) = 0.9182
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入する
f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182
答え
f′(0.5) = 0.9182
6.微分
答え: x = 5
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 24x + 45 = 3·(x2 − 8x + 15)
f′(x) = 0 を解く
x = 3 または x = 5
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 24：極大では負、極小では正。
f″(3) = −6, f″(5) = 6
x = 5
答え
x = 5
7.数値計算法
答え: n = 224
数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。
2 階導関数の評価
M = 6·1 = 6
n について解く
n² > 1·6/(12·1 × 10⁻⁵) = 50000
n > 223.6 → n = 224
答え
n = 224
8.数値計算法
答え: y1 = 0.6028
y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。
4 つの傾き
k₁ = f(0, 0.5) = 1
k₂ = f(0.05, 0.55) = 1.027497
k₃ = f(0.05, 0.551375) = 1.027565
k₄ = f(0.1, 0.602757) = 1.060239
組み合わせる
y₁ = 0.5 + (0.1/6)(1 + 2·1.027497 + 2·1.027565 + 1.060239) = 0.6028
答え
y1 = 0.6028
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