電気工学概論：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

節点解析

キルヒホッフの電流則: ΣI_in = ΣI_out
枝電流: I = (V_a − V_b)/R
基準節点: V_ground = 0

解き方

基準節点（接地）を選び、ほかの節点電圧に名前をつけます。
未知の各節点でキルヒホッフの電流則を書きます：各枝から出ていく電流の和は入ってくる電流の和に等しくなります。
各枝電流を (V_a − V_b)/R で表します。
連立方程式を解き、必要な電流を求めます。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

2演習問題

1.抵抗の直列・並列ふつう

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

2.抵抗の直列・並列むずかしい

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

3.節点解析ふつう

節点解析を使って矢印の向きに R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 9 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.節点解析むずかしい

節点解析を使って矢印の向きに R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 18 VI_s = 6 AV₂ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 3 Ω

I_R2 = A

5.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

6.テブナン・ノートンむずかしい

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 18 VI_s = 0.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

7.RC・RL 過渡現象ふつう

電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。スイッチを閉じた後の回路の時定数 τ を求めよ。

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 10 µF

τ = ms

8.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 12 V に充電されている。 v_C が 10.6 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

V_s = 10 VR = 4.7 kΩC = 220 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF

V_C = V

11.交流電力と力率ふつう

2 つの負荷が 230 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.7 の 22 kW の負荷と、進み力率 0.8 の 20 kW の負荷。電源から流れる全電流 I を求めよ。

V = 230 VP₁ = 22 kW, pf₁ = 0.7 遅れP₂ = 20 kW, pf₂ = 0.8 進み

I = A

12.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、60 Hz の電源から、遅れ力率 0.6 で 8 kW を消費する。47 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。

P = 8 kWpf₁ = 0.6V = 400 Vf = 60 HzC = 47 µF

cos φ =

13.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 75 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 88%、力率は遅れ 0.9 である。電源の線間電圧は 415 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 75 kWη = 88%cos φ = 0.9V_L = 415 V

I_L = A

14.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 75 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

15.変圧器ふつう

単相 75 kVA、10000/400 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。高圧巻線の電流 I_HV を求めよ。

S = 75 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

16.変圧器むずかしい

単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 900 W、定格負荷での銅損は 1800 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 150 kVAP_core = 900 WP_cu,fl = 1800 W

S_η,max = kVA

3溶液

1.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 15.06 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7.059 Ω

R_eq = R₁ + 7.059 = 8 + 7.059 = 15.06 Ω

答え

R_eq = 15.06 Ω

2.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 7.267 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 4.107 Ω

R₃ + 4.107 = 29.11 Ω

R₂ ∥ 29.11 = 4.267 Ω

R_eq = R₁ + 4.267 = 3 + 4.267 = 7.267 Ω

答え

R_eq = 7.267 Ω

3.節点解析

答え: I_R1 = −0.9854 A

節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。

節点を設定する

接地は下の導線です。既知の節点電圧は電源から直接わかります（V₁ = 9 V）。未知数：V_A, V_B。

節点 A の KCL

抵抗を通って A から流れ出る電流は、電源が A に流し込む電流に等しくなります。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 9)/2 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.825·V_A − 0.125·V_B = 4.5

節点 B の KCL

抵抗を通って B から流れ出る電流は、電源が B に流し込む電流に等しくなります。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/8 = 5

−0.125·V_A + 0.175·V_B = 5

解く

Δ = (0.825)(0.175) − (−0.125)(−0.125) = 0.1287

V_A = Δ₁/Δ = 1.413/0.1287 = 10.97 V

V_B = Δ₂/Δ = 4.688/0.1287 = 36.41 V

答え

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (9 − 10.97)/2 = −0.9854 A

4.節点解析

答え: I_R2 = −1.484 A

節点を設定する

接地は下の導線です。既知の節点電圧は電源から直接わかります（V₁ = 18 V, V₂ = 18 V）。未知数：V_A, V_B。

節点 A の KCL

抵抗を通って A から流れ出る電流は、電源が A に流し込む電流に等しくなります。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 18)/20 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.55·V_A − 0.3333·V_B = 0.9

節点 B の KCL

抵抗を通って B から流れ出る電流は、電源が B に流し込む電流に等しくなります。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/3 + (V_B − 18)/4 = 6

−0.3333·V_A + 0.9167·V_B = 10.5

解く

Δ = (0.55)(0.9167) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.3931

V_A = Δ₁/Δ = 4.325/0.3931 = 11 V

V_B = Δ₂/Δ = 6.075/0.3931 = 15.46 V

答え

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (11 − 15.46)/3 = −1.484 A

5.テブナン・ノートン

答え: V_th = 6 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 12 = 22 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·20/(20+20) = 6 V

6.テブナン・ノートン

答え: I_N = 1.1 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 6 = 12 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.2 + 0.5·6 = 10.2 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10.2 + 0.5·6 = 13.2 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = 13.2/12 = 1.1 A

7.RC・RL 過渡現象

答え: τ = 31.97 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

コンデンサから見たテブナン等価回路

電源を短絡して R_th を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·4.7/(10 + 4.7) = 3.197 kΩ

v_C(∞) = 12·4.7/(10 + 4.7) = 3.837 V

時定数

τ = R_th·C = 3.197·10 = 31.97 ms

答え

τ = 31.97 ms

8.RC・RL 過渡現象

答え: t = 1245 ms

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms

v_C(t) = 10 + (12 − 10)·e^−t/τ

時間について解く

10.6 = 10 + (2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10.6 − 10)/(12 − 10) = 0.3

t = τ·ln((12 − 10)/(10.6 − 10)) = 1034·ln(3.333) = 1245 ms

答え

t = 1245 ms

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.03812 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1.592 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (626.7)²) = 629.6 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 24/629.6 = 0.03812 A

答え

I = 0.03812 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 2.952 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (483.6)²) = 490.2 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/490.2 = 0.0204 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.0204·144.7 = 2.952 V

答え

V_C = 2.952 V

11.交流電力と力率

答え: I = 185.5 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

各負荷の無効電力

遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。

Q₁ = 22·tan(arccos 0.7) = 22.44 kvar

Q₂ = −20·tan(arccos 0.8) = −15 kvar

合計

P = 22 + 20 = 42 kW

Q = 22.44 + (−15) = 7.444 kvar

S = √(42² + 7.444²) = 42.65 kVA

全電流

I = S/V = 42655/230 = 185.5 A

答え

I = 185.5 A

12.交流電力と力率

答え: cos φ = 0.7146

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = 8·tan(arccos 0.6) = 10.67 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·47·10⁻⁶ = 2835 var = 2.835 kvar

Q₂ = 10.67 − 2.835 = 7.832 kvar

新しい皮相電力

S₂ = √(8² + 7.832²) = 11.2 kVA

新しい力率

cos φ = P/S₂ = 8/11.2 = 0.7146

答え

cos φ = 0.7146

13.三相電力

答え: I_L = 131.7 A

電気入力

P_in = P_out/η = 75/0.88 = 85.23 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 85227/(√3·415·0.9) = 131.7 A

答え

I_L = 131.7 A

14.三相電力

答え: C_ph = 766.9 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.75) = 75·0.8819 = 66.14 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.95) = 75·0.3287 = 24.65 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 41.49 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13831/(314.2·239.6²) = 766.9 µF

答え

C_ph = 766.9 µF

15.変圧器

答え: I_HV = 7.5 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

定格電流

両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。

I_HV = S/V = 75000/10000 = 7.5 A

答え

I_HV = 7.5 A

16.変圧器

答え: S_η,max = 106.1 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·1800 = 900 → x = √(900/1800) = 0.7071

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.7071·150 = 106.1 kVA

答え

S_η,max = 106.1 kVA

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電気工学概論：直前対策パック

1公式と解法

抵抗の直列・並列

解き方

節点解析

解き方

テブナン・ノートン

解き方

RC・RL 過渡現象

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

三相電力

変圧器

2演習問題

3溶液

遠い端から抵抗をまとめる

答え

遠い端から抵抗をまとめる

答え

節点を設定する

節点 A の KCL

節点 B の KCL

解く

答え

節点を設定する

節点 A の KCL

節点 B の KCL

解く

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

コンデンサから見たテブナン等価回路

時定数

答え

初期値、最終値、時定数

時間について解く

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

コンデンサの電圧

答え

各負荷の無効電力

合計

全電流

答え

改善前後の無効電力

新しい皮相電力

新しい力率

答え

電気入力

線電流

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

定格電流

答え

銅損 = 鉄損

最大効率となる負荷

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める