工学数学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

たたみ込みと LTI システム

離散たたみ込み: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
連続たたみ込み: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
長さと和: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
始まり、終わり、面積: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) へのステップ入力: y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
1 次系: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
1 次の漸化式: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) を通る正弦波: |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
フーリエ級数の振幅: 方形波 ±A：4A/(kπ)、奇数 k；三角波 ±A：8A/(π²k²)、奇数 k；パルス列：A·D と (2A/(kπ))|sin kπD|

解き方

2 つの信号をスケッチし、それぞれが 0 でない範囲を書き込みます。
h を反転してずらします：各出力時刻について、両方の信号が重なる範囲を求めます。
その重なりの範囲だけで、掛けて足し合わせる（離散）か、掛けて積分します（連続）。
結果を確認しましょう：出力は開始時刻の和から始まり、終了時刻の和で終わり、その面積または和は、入力の面積または和の積になります。

2演習問題

1.微分方程式ふつう

y(0) = 5、y′(0) = -2 として y″ + 7y′ + 12y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(1) =

2.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 2y′ + 17y = 34 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [2 −2 5; 1 5 4; 5 0 3]

det A =

4.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [5 6; −3 −6]

λ =

5.ベクトル：内積と外積ふつう

ベクトル a = (3, 5, −1) と b = (−5, 1, k) が垂直になるような k の値を求めよ。

a = (3, 5, −1)b = (−5, 1, k)

k =

6.ベクトル：内積と外積むずかしい

頂点 A(1, −1, −3)、B(1, 3, 0)、C(4, 0, −2) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(1, −1, −3)B(1, 3, 0)C(4, 0, −2)

A = m²

7.積分ふつう

I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

8.積分むずかしい

放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 4 − x²

A =

9.多変数の微分積分ふつう

z = 5x³y² + 3x² − 2y³ + 3xy、x = −t + 2、y = 2t² です。連鎖律を使って、t = 1 での dz/dt を求めてください。

z = 5x³y² + 3x² − 2y³ + 3xyx = −t + 2y = 2t²t = 1

dz/dt =

10.多変数の微分積分むずかしい

極座標を使って、I = ∬_R e^{−(x² + y²)} dA を計算してください。R は円環 0.25 ≤ x² + y² ≤ 4 です。

f = e^{−(x² + y²)}0.5 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π

I =

11.数列と級数ふつう

べき級数 Σ_k=1^∞ k!·xᵏ/kᵏ の収束半径 R を求めてください。

Σ k!·xᵏ/kᵏx₀ = 0

R =

12.数列と級数むずかしい

a = 4 のまわりでの f(x) = √x のテイラー級数で、(x − 4)³ の係数 c₃ を求めてください。

f(x) = √xa = 4k = 3

c₃ =

13.ラプラス変換ふつう

F(s) = 30/(s(s + 4)(s + 6)) の f(t) を部分分数展開で求め、f(0.2) を計算せよ。

F(s) = 30/(s(s + 4)(s + 6))t = 0.2 s

f(0.2) =

14.ラプラス変換むずかしい

ある系が微分方程式 y″ + 2y′ + 10y = u′ + 10u で表される（入力 u(t)、出力 y(t)）。その伝達関数 G(s) = Y(s)/U(s)（初期条件はゼロ）を求め、t = 0.8 s におけるインパルス応答 g(t) を計算せよ。g(0.8) を求めよ。

y″ + 2y′ + 10y = u′ + 10ut = 0.8 s

g(0.8) =

15.たたみ込みと LTI システムふつう

信号 x(t) は t = −2 s から t = 1 s の間だけ、h(t) は t = 3 s から t = 4 s の間だけ 0 でない値をとります。y(t) = x(t) ∗ h(t) の持続時間 D を求めなさい。

x: −2 … 1 sh: 3 … 4 s

D = s

16.たたみ込みと LTI システムむずかしい

方形波が周期 T = 2 ms で 10 と 0 の間を切り替わります（各レベルに周期の半分ずつとどまります）。3500 Hz のフーリエ成分の振幅 c₇ を求めなさい。

0 … 10T = 2 msf = 3500 Hz

c₇ =

3溶液

1.微分方程式

答え: y(1) = 0.6581

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

初期値から求める定数

A + B = 5, −3A − 4B = -2

A = 18, B = −13

計算する

y(1) = 18·e⁻³ + (−13)·e⁻⁴ = 0.6581

答え

y(1) = 0.6581

2.微分方程式

答え: y_max = 2.912

定常値と根

y_ss = 2, r = −1 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0.5

ピーク

t = π/4 = 0.7854

y_max = 2·(1 + e^−1·π/4) = 2.912

答え

y_max = 2.912

3.行列と行列式

答え: det A = −129

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 15, M₁₂ = −17, M₁₃ = −25

余因子展開

det A = 2·15 − (−2)·(−17) + 5·(−25) = −129

答え

det A = −129

4.行列と行列式

答え: λ = 3

固有方程式

λ² − (−1)λ + (−12) = 0

解く

λ = (−1 ± √(49))/2 → λ = −4, 3

λ = 3

答え

λ = 3

5.ベクトル：内積と外積

答え: k = −10

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

内積 = 0

a·b = 3·(−5) + 5·1 + (−1)·k = 0

−10 + (−1)·k = 0

k について解く

k = −(−10)/(−1) = −10

答え

k = −10

6.ベクトル：内積と外積

答え: A = 7.517 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

辺ベクトル

AB = B − A = (0, 4, 3)

AC = C − A = (3, 1, 1)

外積

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·1 − 3·1 = 1

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·3 − 0·1 = 9

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·1 − 4·3 = −12

|AB × AC| = √(1² + 9² + (−12)²) = 15.03

三角形の面積

A = ½·15.03 = 7.517 m²

答え

A = 7.517 m²

7.積分

答え: I = 12

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

積分して代入する

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

答え

I = 12

8.積分

答え: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

積分する

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答え

A = 10.67

9.多変数の微分積分

答え: dz/dt = −76

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

点と変化率

x(1) = 1, y(1) = 2

dx/dt = −1, dy/dt = 4t = 4

偏導関数

f_x = 15x²y² + 6x + 3y = 72

f_y = 10x³y − 6y² + 3x = −1

連鎖律

dz/dt = 72·(−1) + (−1)·4 = −76

答え

dz/dt = −76

10.多変数の微分積分

答え: I = 2.389

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

極形式

I = ∫₀^2π ∫_0.5² e^−r²·r dr dθ

積分する

∫ e^−r²·r dr = [−e^−r²/2]

I = 2.389

答え

I = 2.389

11.数列と級数

答え: R = 2.718

係数

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

半径

R = 2.718

答え

R = 2.718

比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。

12.数列と級数

答え: c₃ = 0.001953

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = 0.375·x^{1/2 − 3}

係数

c₃ = 0.375·4^{1/2 − 3}/3! = 0.001953

c₃ = 0.001953

答え

c₃ = 0.001953

13.ラプラス変換

答え: f(0.2) = 0.318

ラプラス変換：F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e^−at ↔ 1/(s + a)、t·e^−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e^−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lim_s→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)。

部分分数展開

F(s) = A/s + B/(s + 4) + C/(s + 6)

A = 30/(4·6) = 1.25

B = 30/((−4)·2) = −3.75

C = 30/((−6)·(−2)) = 2.5

逆変換

f(t) = 1.25 − 3.75·e^−4t + 2.5·e^−6t

計算する

f(0.2) = 1.25 − 3.75·e^−4·0.2 + 2.5·e^−6·0.2 = 0.318

答え

f(0.2) = 0.318

14.ラプラス変換

答え: g(0.8) = 0.5792

伝達関数

G(s) = Y(s)/U(s) = (s + 10)/(s² + 2s + 10)

部分分数展開

s² + 2s + 10 = (s + 1)² + 3²

G(s) = 1·(s + 1)/((s + 1)² + 3²) + (9/3)·3/((s + 1)² + 3²)

インパルス応答

g(t) = e^−t·(cos 3t + 3·sin 3t)

g(0.8) = 0.5792

答え

g(0.8) = 0.5792

15.たたみ込みと LTI システム

答え: D = 4 s

連続たたみ込み：y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ。h を反転し、位置 t までずらし、重なる部分の積を積分します。因果的な信号では、積分は 0 から t までです。役に立つ結果：y の面積は x の面積と h の面積の積です。x が t₁ から t₂ まで、h が t₃ から t₄ まで続くなら、y は t₁ + t₃ から t₂ + t₄ まで続きます。h(t) = e^−atu(t) と高さ A のステップ入力では、y(t) = (A/a)(1 − e^−at) です。

始まりと終わり

t_start = −2 + 3 = 1 s

t_end = 1 + 4 = 5 s

答え

D = 4 s

答え

D = 4 s

16.たたみ込みと LTI システム

答え: c₇ = 0.9095

インパルス応答とフーリエ級数：インパルス応答 h(t) は LTI システムを完全に表します：y′ + a·y = b·x では h(t) = b·e^−atu(t)、y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] では h[n] = b·aⁿu[n] です。正弦波 cos ωt は、ゲイン |H(jω)| と位相 ∠H(jω) をもって通過します（H は h のフーリエ変換）。周期信号は k/T の高調波の和です：±A の方形波は奇数次の高調波だけをもち、振幅は 4A/(kπ)、ピーク A の三角波は 8A/(π²k²)、高さ A でデューティ比 D のパルス列は平均値 A·D と高調波 (2A/(kπ))·|sin(kπD)| をもちます。

高調波次数

f₀ = 1/T = 500 Hz → k = 3500/500 = 7

振幅

c₇ = 4·5/(7π) = 0.9095

答え

c₇ = 0.9095

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