工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^2x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 + 2/x)^2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(3x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(3x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (−2x + 3)³ とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = (−2x + 3)³x = 2

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = −x² − 4x − 5 の x = 2 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = −x² − 4x − 5x = 2

b =

5.積分ふつう

I = ∫₀¹ x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀¹ x·cos x dx

I =

6.積分むずかしい

I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

7.複素数ふつう

図には z = −4 − j が示されています。w = 0.5∠90° とするとき、z/w を表す点をクリックしてください。

z = −4 − jw = 0.5∠90°

1A (−2 + j8)
2B (−8 − j2)
3C (−1 + j4)
4D (2 − j8)

8.複素数むずかしい

z³ + 2z² − 6z − 72 = 0 の解の 1 つは z₁ = −3 + j3 です。係数は実数です。実数の解 r を求めてください。

z₁ = −3 + j3

r =

9.微分方程式ふつう

3 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 30 °C の部屋に出します。 12 分後の温度は 15 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。開始から 11 °C に達するまでの時間 t を求めなさい。

T₀ = 3 °CT_a = 30 °CT(12) = 15 °CT = 11 °C

t = min

10.微分方程式むずかしい

y(0) = 3、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + 3y′ + 18.25y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 3y′ + 18.25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [5 3 −2; 5 −3 3; 1 −1 0]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

連立方程式 4x − 6y = −8、−2x − 6y = 1 を解きなさい。x を求めなさい。

4x − 6y = −8−2x − 6y = 1

x =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

一定の力 F = (20, 15, 20) N が、点 A(−4, −2, −4) から点 B(−1, −5, 0) まで直線上を動く物体に作用している。座標の単位はメートルである。この力がする仕事 W を求めよ。

F = (20, 15, 20) NA(−4, −2, −4) mB(−1, −5, 0) m

W = J

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

力 F = (20, −60, −10) N が点 A(0, −1, 1) に作用している。座標の単位はメートルである。原点 O(0, 0, 0) まわりの力のモーメントの大きさ |M| を求めよ。

F = (20, −60, −10) NA(0, −1, 1) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

15.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.3, 0.25, 0.2

σ =

16.確率むずかしい

ゲームの参加費は €3 です。確率 0.2 で €6、確率 0.02 で €60 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €3€6: p = 0.2€60: p = 0.02

E(G) = €

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：27, 45, 10, 58, 43, 38。

n = 6

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 15 の正規分布に従います。55 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 15x = 55

P =

19.正規分布ふつう

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。95.5 から 127 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 100σ = 15x₁ = 95.5x₂ = 127

P =

20.正規分布むずかしい

ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3溶液

1.極限

答え: L = 54.6

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 2·2 = 4

対数をもとに戻す

L = e⁴ = 54.6

答え

L = 54.6

2.極限

答え: L = 1.333

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[3·cos 3x]

x = 0 を代入する

L = 4/3 = 1.333

答え

L = 1.333

3.微分

答え: f′(2) = −6

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 3·(−2x + 3)²·(−2)

代入する

f′(2) = 3·(−1)²·(−2) = −6

答え

f′(2) = −6

4.微分

答え: b = −1

接点と傾き

f(2) = −17

f′(x) = −2x − 4 → f′(2) = −8

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −17 − (−8)·2 = −1

答え

b = −1

5.積分

答え: I = 0.3818

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0.3818

答え

I = 0.3818

6.積分

答え: I = 3.602

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

答え

I = 3.602

7.複素数

答え: A (−2 + j8)

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の効果

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

その点

z/w = −2 + j8 → A

答え

A (−2 + j8)

8.複素数

答え: r = 4

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

共役な対

z₂ = −3 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 3²) = z² + 6z + 18

2 次式でくくり出す

z³ + 2z² − 6z − 72 = (z² + 6z + 18)(z − 4)

実数の解

r = 4

答え

r = 4

解の和で確かめましょう：z₁ + z₂ + r = −6 + 4 = −2 = −(2)。

9.微分方程式

答え: t = 7.174 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却定数

k = ln(-27/-15)/12 = 0.04898 min⁻¹

目標温度に達するまでの時間

t = ln(-27/(−19))/0.04898 = 7.174 min

答え

t = 7.174 min

10.微分方程式

答え: y(1) = −0.6275

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

複素根

r = −1.5 ± 4j

定数

A = 3, B = 1.5·3/4 = 1.125

計算する

y(1) = e^−1.5(3·cos 4 + 1.125·sin 4) = −0.6275

答え

y(1) = −0.6275

11.行列と行列式

答え: det A = 28

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 3, M₁₂ = −3, M₁₃ = −2

余因子展開

det A = 5·3 − 3·(−3) + (−2)·(−2) = 28

答え

det A = 28

12.行列と行列式

答え: x = −1.5

係数行列の行列式

det A = 4·(−6) − (−6)·(−2) = −36

x の列を置き換える

det Aₓ = (−8)·(−6) − (−6)·1 = 54

x = 54/(−36) = −1.5

答え

x = −1.5

y = 0.3333

13.ベクトル：内積と外積

答え: W = 95 J

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

変位

d = B − A = (−1, −5, 0) − (−4, −2, −4) = (3, −3, 4) m

仕事

W = F·d = 20·3 + 15·(−3) + 20·4 = 95 J

答え

W = 95 J

14.ベクトル：内積と外積

答え: |M| = 75.5 N·m

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

O から A への位置ベクトル

r = A − O = (0, −1, 1) − (0, 0, 0) = (0, −1, 1) m

モーメント M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−10) − 1·(−60) = 70 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·20 − 0·(−10) = 20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·(−60) − (−1)·20 = 20 N·m

大きさ

|M| = √(70² + 20² + 20²) = 75.5 N·m

答え

|M| = 75.5 N·m

15.確率

答え: σ = 1.068

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.25 + 1·0.3 + 2·0.25 + 3·0.2 = 1.4

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.3 + 4·0.25 + 9·0.2 = 3.1

分散

Var(X) = 3.1 − 1.4² = 1.14

σ = √1.14 = 1.068

答え

σ = 1.068

16.確率

答え: E(G) = −0.6 €

純利得の結果

G: 3 (p = 0.2), 57 (p = 0.02), −3 (p = 0.78)

期待値

E(G) = 3·0.2 + 57·0.02 − 3·0.78 = −0.6 €

答え

E(G) = −0.6 €

負の値は、平均して損をすることを意味します。

17.記述統計

答え: s = 16.56

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 221/6 = 36.83

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−9.833)² + 8.167² + (−26.83)² + 21.17² + 6.167² + 1.167² = 1371

標準偏差

s = √(1371/5) = 16.56

答え

s = 16.56

18.記述統計

答え: P = 0.8413

標準化する

z = −1

標準正規分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答え

P = 0.8413

19.正規分布

答え: P = 0.582

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (95.5 − 100)/15 = −0.3

z₂ = (127 − 100)/15 = 1.8

間の面積

P = Φ(1.8) − Φ(−0.3) = 0.9641 − 0.3821 = 0.582

答え

P = 0.582

20.正規分布

答え: P = 0.7389

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

標準化する

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

確率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答え

P = 0.7389

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